二阶线性常系数非齐次微分方程的变动任意常数法在线视频

前面我们介绍了

二阶线性常系数特解的待定系数法

但待定系数法

他对微分方程的右端项

有特殊的要求

也就是要求他必须是特殊的函数类

而我们处理二阶线性常系数非齐次方程时

许多时候右端项都不满足我们的要求

这时候我们一般介绍

他的另外一种解法

这就是所谓的变动任意常数法

二阶线性常系数非齐次方程

他的变动任意常数法

我们考虑的方程是一个一般的

二阶线性常系数非齐次微分方程

右端项我们就用f(x)来表示

那么对这样的方程

所谓的变动任意常数法

指的是什么

也就是我们假设y1(x)y1(2)

这两个函数是他对应的齐次方程的

两个线性无关解

那么 我们就令

y(x)=c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x)

是这个非齐次方程的解

这个方程我们用星号来表示

也就是 是这个*式方程的解

所谓变动任意常数

主要指的是

在这里面c1 c2不再是常数

如果c1c2是常数的时候

根据齐次微分方程解的性质

我们知道y1 y2的线性组合

满足的仍然还是齐次方程

不可能满足非齐次方程

所以说我们为了让他满足非齐次方程

就让这个常数

是与自变量x有关的

也就是他实际是一个变量

这也就是所谓的变动任意常数

如果我们令这一个

是非齐次方程的解

我们来看一下

c1c2这两个函数

应该满足什么条件

我们求y的一阶导数

也就是c1的导数乘上y1

再加上c1乘上y1的导数

再加上c2的导数乘上y2

再加上c2乘上y2的导数

这个我们简单的给他组合一下

这面c1的导数乘上y1

再加上c2的导数乘上y2

这面是加上的

c1乘上y1的导数

加上c2乘上y2的导数

因为我们还需要求二阶导数

如果我们不做新的假设

那么我们的二阶导数就会出现

这里这两个未知函数c1c2的二阶导数

换句话说

我本来就是要解一个二阶微分方程

结果我把它从一个未知函数

变成了两个未知函数之后

还是解二阶微分方程

这个问题自然就没得到化简

我们多引进一个未知函数的目的

实际上是希望把二阶的问题变成一阶的

那么为此我们需要

对c1c2再加一个条件

这个条件我们就加这个括号

这个表达式等于0

也就是说

我就再令c1一撇y1

加上c2一撇y2等于0

那么在这一个假设下

我就会得到两阶导数

实际就是对这个东西求导

那当然就是c1的导数y1‘

加上c1 y1’‘

c2的导数乘上y2的导数

再加上c2*y2’‘

现在我们把y y’ y‘’

都代到原来这个方程

我们带进去之后

给他整理一下就会得到

y‘’+ay‘+by应该是等于

这个地方与y1有关的

我们提出一个c1来

这面就是y1’‘+ay1’+by1

这是一个

有 y2两阶导

或者与y2有关的

我们给他提出来

应该就是加上一个c2y2‘’+ay2‘+by2

还有一项

是这一项

也就是加上在这儿的

这两项

也就是c1’y1‘+c2'y2'

最后他应该等于方程的右端项

也就是说

我们把这个函数

y以及他的一阶导二阶导

代到方程里边来

就会得到最后这个等式

但是y1是他对应的齐次方程的解

所以说这个括号等0

y2也是他对应的齐次方程的解

所以说这个括号也等0

这样的时候

我们就得到了

c1’y1‘+c2’y2‘

应该等于右端项f(x)

考虑到我们的c1 c2满足的这个关系

所以最后我们知道

我们的c1 c2 满足的

应该就是这两个方程

那么对c1’ c2‘来说

这应该是他们的一个线性方程组

而他们的系数行列式

应该就是y1y2这两个函数的朗斯基行列式

因为我们说

他是这个对应的齐次方程的

两个线性无关的解的时候

他的朗斯基行列式

当然是不等0的

也就是说

这个线性方程组的系数行列式

是不等0的

他应该有唯一解

这个唯一解

大家可以很容易写出来

就是c1’应该就等于

他的分母

就是系数行列式

那我就给他写成一个表达式

就是y1y2‘-y2y1’

这是分母

分子我们也给他写上

写上应该就是-y2*f(x)

所以说他的一阶导数就求出来了

他的 c2的一阶导

分母仍然是系数行列式的值

y1y2‘-y2y1’

他的分子就变成了y1f(x)

所以c1c2的一阶导出来了

那么我们做不定积分

自然就会得到c1(x)

就=c1'(x)做不定积分

c2(x)也就等于c2‘做不定积分

我们用这个不定积分

表示他们的一个原函数

那么这样子的时候

我们要得到通解就出来了

也就是说

我们这个非齐次方程的通解

应该是c1y1+c2y2

这是他对应的齐次方程的通解

后面再加上

我们得到的这个c1c2

就是c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x)

这里的这个c1c2是任意常数

而这两个是我们刚才构造的

那两个未知函数

实际上如果大家觉得

容易弄混的时候

你这个任意常数

可以用随便用另外两个记号

比如说我可以用α

用β来表示 也可以的

这样我们就得到了他的通解

那么这个所谓的

变动任意常数法

我们回过头来分析一下

实际上就是说

他通过引进两个新的未知函数

把我们求解

这一个二阶线性微分方程的问题

转化成求解一个线性方程组的问题

与做两个不定积分的计算问题

这样一般说来

就是从难度上

是把这个问题

通过多引进一个函数

降低了

所以说这应该是

求解咱们非齐次方程通解的一个常用的方法

接下来我们就用这个方法

来看两个简单的题目

第一个例题

我们就求解一下

两阶导加上一个y=一个tanx

那么这一个方程

尽管形式很简单

但是他的右端项

并不是我们待定系数法时要求的特殊形式

所以说这个方程

用待定系数法去求他的一个特解

我们是不会做的

但现在有了变动任意常数法

我们看这个问题我们的求解

因为他对应的齐次方程的特征根

应该是±i

所以说他对应的

齐次方程的两个线性无关方程的解

一个是cosx

一个是sinx

这就是我们待定系数法里面的y1y2

接下来我们就设

y就等于c1(x)cosx+c2(x)sinx

那就是说

我们直接就解

就是c1’cosx+c2‘sinx=0

然后c1’乘上cos的导数

也就是-sinx

再加上c2‘这是c2’

再乘上sin的导数

就是cosx

他应该等于这个右端项tanx

那在这里面

大家自然就应该能够解出c1‘和c2’

我们解c1‘的时候

比如说这个地方

我们给他乘一个正弦

这个地方乘一个余弦

两个一加

就把c1’消掉了

那么得到的就是c2‘

那在这两个方程里面

我第一个方程乘上sin

第二个方程乘上cos

两个方程一加

把c1’消掉

我就会得到c2‘

利用sin方加cos方=1

所以说我们就会推出

c2'应该=这面乘上cos

也就是等于sinx

所以我们的c2x

他的原函数

也就应该=-cosx

我们同样地

就是上面乘上cos

下面乘上sin

这样两个一减就把c2’消掉

我们就会得到

我们的c1‘

应该等于-tanx乘上sin

也就是sin方除上cosx

这也就等于一个-1/cosx+cosx

那么 对他做不定积分

也就是得到了c1x就=sinx

这是它的原函数

这个应该是个正切

所以就 唉 正割

这也就减掉

它的原函数

应该是ln(secx+tanx)

那么 有了c1 c2这两个函数

再用这个对应的

这个齐次方程的两个线性无关的解

我们自然就可以把

这个非齐次线性方程的通解求出来

也就是说 这个方程

如果用待定系数法

来求这个特解的时候

那当然 就是说 我们是

没法设特解形式的

但是用变动任意常数法

大家看

经过不太复杂的运算

我们就能得到他的通解

所以变动任意常数法

自然是比待定系数法更一般的方法

接下来我们看第二个例题

第二个例题

我们就看一下y’‘-y=2xe^x

这个方程 实际大家一看

这就是一个二阶线性常系数非齐次方程

而且右端项

是我们前面讨论

待定系数法时

能够处理的形式

现在对这个问题

我们用变动任意常数法

来求解看一下

也就是说

对这样的东西

既能用待定系数法求他的特解

自然也能用变动任意常数法来求

我们看一下变动任意常数法的解的过程

也就是说

我们先看他对应的特征方程

他是λ方-1=0

所以他的特征根是±1 ±1

也就是我们就知道

它对应的齐次方程的两个线性无关的解

一个是e^x 一个是e^(-x)

那么 利用变动任意常数法

我们就令他的解是y(x)=c1(x)e^x+c2(x)e^(-x)

我们直接来求解

直接来求解就是说

c1‘e^x+c2’e^(-x)应该=0

再一个方程是

c1‘乘上e^x的导数

还是她自己

再+c2’乘上e^(-x)的导数

有个负号

减掉c2‘e^(-x)

这面应该等于原来方程的右端项

也就是2xe^x

那么对这个方程来看

大家看我两个方程

一做加法

这个c2’就消掉了

消掉以后 这面把那个2xe^x消掉

所以直接就推出

c1‘就等于x

那么我们c1x自然就等于1/2x^2

接下来如果我第一个方程

减掉第二个方程

那么前面这一个项就消掉

这个时候

我们一做的时候

应该就会得到就是c2’

应该就等于一个负的

这面是一个2倍跟这个2消掉

这面应该有一个x

这面把这个给乘过去

应该是个e的2x次方

那么-xe^2x我们做不定积分

大家知道这是典型的分部积分法

用一次分部积分公式

自然就能把c2x也求出来

最后c1c2这两个未知函数得到了

再利用他对应的齐次方程的

两个线性无关的解

我们就能得到这个非齐次方程的通解

实际上

在这个变动任意常数法的过程中

我们在做不定积分的时候

没有碰到任何的困难

就是求的幂函数的原函数

和我们比较熟悉的

利用分部积分公式求原函数的这样的函数

实际这个题目

利用变动任意常数法

求解过程 对大家来说

应该是比待定系数法的计算量还要小

尽管他牵扯到了积分运算

但这种积分运算是我们熟悉的

这是关于二阶线性常系数非齐次方程

他的变动任意法

他的大概想法

以及用它来

处理一些具体的方程

这个例子

当然大家可能要问

如果他是二阶线性常系数的

那么 他齐次方程的两个线性无关的解

我们可以用特征法得到

那么 变动任意常数法

对一般的线性微分方程行不行

如果可以的时候

那么一般的线性齐次方程的线性无关的解

我怎么得到

实际在后面的章节里面

我们会做简单的介绍