第二类曲面积分的计算在线视频

好 我们举两个例子

来看看第二类曲面积分是如何计算的

我们要求这么一个第二类曲面积分

其中S这个曲面呢

是这么一个曲面

是由z=x^2+y^2以及z=1

围成的空间区域的边界面的外侧

我们画一下图

我们来看看S这曲面呢实际上是

一个旋转抛物面

和上面加一个盖顶的这么一个

这就是S曲面

题目要求是外侧面为正

所以呢S曲面

S曲面实际上是由两张曲面组成

S曲面呢是由S上侧和S侧面组成

因为他不是一个整张的光滑曲面

外侧为正所以上侧呢应该向上为正

侧面呢外侧为正应该是向下为正

正方向 这个积分呢

它也是一个第二类曲面积分

只是一个不完整的第二类曲面积分

如果我们写完整的话

0dydz+0dzdx+y^2zdxdy

我们先求S上侧面的第二类曲面积分

S侧面呢

方程是这么一个方程是z=x^2+y^2

同样xy的范围

xy呢是属于这么一个区域

圆域 x^2+y^2<=1

这条线在底下那个投影就是半径为1的

这么一个区域

我们把这个呢叫做Dxy

那么第二个 这么一个曲面

它的法方向

实际上是等于 正负 都可以叫法方向

z对x偏导数 z对y偏导数

那么是 2x 2y和-1

单位法方向 根号 2x的括弧平方

加上2y的括弧平方加上-1的括弧平方

这是单位法方向

那么这正负号到底取哪个符号呢

我们来看看 我们现在说过的

第二类曲面积分在侧面是不向下侧为正

他的最大的一个特点

就是他的z方向的分量一定是<0的

所以我们根据分析我们可以知道

对于我们现在这种情况

第二类曲面积分这个正负号

取的是正号 也就是

如果说想象一下

我们把这个题目改一下

我们说这个第二类曲面积分

做的是这个外侧这个侧面

就是边界面的内侧为正

那么这时候我们就应该加上负号

因为他的保证

最后一个分量他的正负号是恒定的

所以呢根据分析我们知道

在侧面的单位法向量正法向量的表示形式

是这种表示形式

所以呢 我们知道第二类曲面积分

侧面的第二类曲面积分

三个分量 V的第一个是0 第二个是0

第三个是y^2z 点积法方向

2x2y-1除以根号2x平方加上2y括弧平方加上1

再乘上dS

我们把第二类曲面积分

通过单位法向量

实际上就变成了第一类曲面积分的计算

这是一个第一类曲面积分

上面就不需要带正负号了

这个第一类曲面积分的计算

我们当然是会的

他就等于在S侧上 乘一乘

负的y平方乘以z除以根号

a方b方c方

2x括弧平方加上2y括弧平方加上1的ds

而我们知道第一类

这么一个第一类曲面积分的计算

实际上就是Dxy区域上

负的y平方z除以根号

2x括弧平方加上2y括弧平方加上1

再乘上 dS呢

就写成a方加b方加c方开根号

同样也是等于括弧

2x的平方加上2y括弧平方加上-1的平方dxdy

实际上就变成了

负的在Dxy这个圆域上的积分

y平方这个曲面的方程

实际上z就等于x平方加上y方

所以呢乘上x平方加上y方

这两个正好一抵消 dxdy

这就变成了一个标准的二重积分

那么这个标准的二重积分

当然我们很简单的可以算一下

就等于负的从0极坐标系2πdφ

半径是1 0到1 y平方呢 是ρ^2sin^2(φ)

x^2+y^2呢就是ρ^2

极坐标系呢要求ρdρ

这个呢 我们可以算一下

我们算完的结果就应该等于-π/6

这仅仅是在侧面上的第二类曲面积分

同样我们还要算在S上侧的第二类曲面积分

0 0 y^2乘上z点上上侧的单位法方向dS

那我们知道啊上侧的单位法方向

因为我们知道上侧是向上为正

这是我们规定的外侧为正

既然向上为正

那么上面是一个平面所以呢就等于001

所以呢上侧的第二类曲面积分就可以写成

S上00y^2z乘上001的第一类曲面积分

也就等于上侧的积分区域

还是在xy平方加y平方<=1这个圆域上

一乘y平方乘上 上侧的曲面方程叫做z=1

是乘上1 那么再乘上dxdy

那么最后算一下

我们可以算得

这个是呢从0到2π dφ

再从0到1ρ^2sin^2(φ)乘上ρdρ

这个呢就等于π/4

这是上侧的第二类曲面积分

所以加起来之后

整体的在外边界上的第二类曲面积分

或者呢具体的

就是在S正上y平方zdx加一个帽dy

就等于这两个相加

π/4减去π/6正好等于π/12

这是第一个例子

好我们再来看一道例题

我们还是求一个不完整的第二类曲面积分

只有一项的第二类曲面积分

其中S曲面还是刚才那个

z=x^2+y^2与z=1所围成的空间区域的外侧面

但是我们现在的积分不一样了

是xdy帽上dz

我们把它图再稍微再画一下

xyz 你可以发现我们现在这张图

跟我们刚才那张图的xyz的坐标的它的布局呢就不太不一样了

我们那个曲面是这么一个曲面

是绕着z轴的一个旋转抛物面

这个呢 是1

同样 我们还是分两个

我们把这个曲面呢叫做S侧

把外侧为正 这个曲面呢

叫S 我们现在把它叫做顶面吧

dydz就是在xyz平面上的一个投影

我们来看看S侧这个曲面

在yz平面上的一个投影

S侧这个曲面在yz平面上的投影呢

可以写成这个样子

我们把这个呢叫做Dxy Dyz

yz z呢<=1 >=y^2这就是投影

我们现在来看看S侧的表达形式

S侧的话我们把x解出来写成yz的函数

写成x=±根号z-y平方

所以这时候你明显看出来

S侧的话不可能统一的写成一个表达形式

那这样的话 我们把S侧分成两类

一个呢S侧的上半区域

就是x呢等于根号z-y平方

另外一个呢是S侧的下半部分

x呢就是等于根号负的根号z-y平方

其中呢xy呢属于Dxy的区域

所以它自然一定要分成两部分

你不可能在同一张曲面上把它做完的

那么我们最后我们可以发现

原来我们要算的S+上的第二类曲面积分

实际上可以写成S侧上第二类曲面积分

加上S顶上的第二类曲面积分

S侧呢又分成两部分

S侧的上半部分的第二类曲面积分

加上S侧的下半部分的第二类曲面积分

再加上S顶面的第二类曲面积分

我们一个一个来算

我们来看看第一个积分

S侧的上半部分的第二类曲面积分

我们已经知道

S侧上半部分是x就等于根号z-y平方

那么它的法方向n方向

实际上应该是等于正负上面是1

y除以根号z减y平方以及1负的1

2倍的根号z减y平方

除以单位化 要单位法向量

根号1的平方加上y除以根号z减y平方括弧的平方

加上负的1

2倍根号z减y平方的平方开根号

我们再来看看正负号的选定

上半部分 这个曲面的上半部分

它的最大的法方向 它最大的特点

法方向和x轴的正方向的夹角

永远是一个锐角

既然是是一个锐角

那么我们这一定要取正号

所以呢根据我们的方向的选定

上半部分单位法方向的表达形式

就是应该是这么一种表达形式

好 那么可以发现原来这个积分呢

是不完全的第二类曲面积分

应该是首项是x

第二项是0 0

这是V函数 三个分量函数

点积单位法方向

1 y/根号(z-y^2) -1/2根号(z-y^2)

除以单位化这个的三个的

1的平方加上一个的平方加上一个的平方

我就略写了 第一类的曲面积分 变成它

那么根据第一类曲面积分的计算

我们知道第一类曲面积分

dS实际上是等于根号A方

加上B方加上C方的dydz

也就等于根号1的平方

加上后面这一项的平方

加上最后这一项的平方dydz

这是面积元素

我们把这个带到dS上的话

我们可以知道S侧面上半部分的第二类曲面积分

就等于一个二重积分

积分区域呢Dyz 这是我们写过的

哦这写错了应该是y应该是z

这个是y这是z Dyz 二重积分

被积函数呢是x乘上1

0乘上后面那个数

0乘上后面那个数

都是0 那么dydz

那么在S上 侧面的上半部分

这个S我们讲过等于根号

Dyz S不就等于根号z-y^2dydz

那我们算一下这么一个积分

我们最后二重积分呢

可以得到这么一二重积分的一个积分值

y呢是从-1到+1 dy

z呢就从y平方到1根号z减y平方dz

我们经过计算

我们可以知道这就是等于π/4

这是侧面的上半部分的第二类曲面积分

好 我们再来看看S侧的下半部分

S侧下半部分的方程是x=-根号z-y^2

其中（yz）呢是属于Dyz这个区域的

那么它的法方向就等于有正可负

那么是1 -y/根号(z-y^2)正的1/2根号(z-y^2)

除以单位化单位法向量

根号1的平方加上第二项平方

加上第三项的平方我就略写了

那么我们来看看正负号的选定

正负号呢

我们再来看看这么一个下半曲面

它的最大的特点

是正法方向和x轴

它的夹角一定是一个钝角

所以下半曲面的正法方向

它的第一分量x分量一定是<0的

既然第一分量是小于0的

所以呢我们发现这个正负号的选定

我们一定要取负号才能保证我们的要求

所以下半部分的单位法方向

我们取的是负号

好 那么我们来看一看

S侧面的下半部分的第二类曲面积分的计算

就应该是等于

V函数第一分量是x

第二分量是0第三分量是0

点积正方向

正法方向是负的(1 -y/根号(z-y^2) 1/2根号(z-y^2))

除以根号1的平方加上第二项的平方

加上第三项的平方的dS

这呢 加一个括号

其中这个x呢

是等于负的根号z-y^2

我们把x=负的根号z-y^2带进去

把这个dS呢 还是用我们刚才写的

dS就等于根号1加上第二项的平方

加上第三项的平方的dydz

我们把它通通代进去之后

我们发现S侧下半部分的积分

同样也是等于Dyz上的积分

根号z-y^2dydz这么一个二重积分

因为x呢有一个负号

1呢 有一个负号

所以下半侧的第二类曲面积分

最后发现跟上半侧的第二类曲面积分

完全是相等的

他也就是等于π/4

好 我们算了半天

我们只算了侧面的第二类曲面积分

实际上还有一个第二类曲面积分

S顶上的第二类曲面积分xdydz

那么在顶上的话 我们可以发现

S顶是这么一个侧面的一个面积

他在yz面上的投影就是是一条线

这条线是没有面积的

所以他转化成为二重积分之后

它既然没有面积 所以呢

这个第二类曲面积分一定是等于0的

我们把一个S侧上半部分的第二类曲面积分

下半部分的第二类曲面积分

和顶面的第二类曲面积分

通通加起来

最后我们可以得到

在S正的第二类曲面积分

就等于π/4+π/4+0最后就等于π/2

一点点要修正的地方

这里应该是z平方减去y平方

这就是我们这么一个

看上去很简单的这么一个

只有一个分量的第二类曲面积分

由于这个曲面的形状比较复杂

那么我们分成几块来做

最后我们算出这个积分的积分值就是π/2