二重积分的计算：一般坐标系例题在线视频

好我们来看一下另外一道例题

我们要求一个椭球体的体积

这个椭球体呢

它的边界面是

z平方除以c平方小于等于一

这是椭球体

要求它的体积

其中我们不妨假设

a和b和c呢都是大于零的三个数

那么我们先来看看

在直角坐标系下

如何来求椭球体的体积

我们先画一下图

在xy平面上

是一个椭圆 上面呢是一个椭球体

为了简单起见 我就画了半个

实际上下面还有半个

那么这个椭球体的体积V呢

因为我们在求二重

我们在引入二重积分的定义的时候

实际上我们就是虚拟的要做一下体积

所以呢这个椭球体的体积

完全就是二重积分

这个二重积分呢

它是在D这个区域

D这个区域呢就是这么一个区域

是(x,y)

x平方除以a方加上y平方除以b方小于等于一

这是椭球体在xy平面上的投影

就是这个椭圆

在D区域上

那么高度是多少呢

这个高度呢实际上来讲就是

把这个解出来

等于c根号 一减x方除以a方

减去y方除以b方dxdy

因为我们讲 它是要求椭球体的体积

所以呢上下都算是两倍的

如果说我仅仅算dxy呢

是这个区域

也就我们把上半椭球体呢

又分成前后左右四块

那么我们再给约束条件

x大于等于零 y大于等于零

这样的话实际上椭球体的体积

上面有四块

底下有四块

所以呢这应该乘上一个八倍的

那你会发现

这个东西怎么去算

这是一个很困难的一件事情

我们不知道这么去算

如果能算的话

也是非常非常困难的

那么我们引进坐标变换

我们已经引进过一类广义的极坐标系

就是椭圆坐标系

处理椭圆问题呢

用椭圆坐标系是最简单的

这个坐标系呢

我们现在就要引进椭圆坐标系

x等于a乘上ρcosφ

y就等于b乘上ρsinφ

好 我们看看这么一个椭圆坐标变换

把原来那个四分之一的椭圆

直角坐标系下的四分之一椭圆

变成了一个新的坐标系下的一个区域

是什么东西呢 是(ρ,φ)

那我们可以知道

φ呢是从零到二分之π转一圈

所以呢零小于等于φ小于等于二分之π转一圈

ρ的变化范围

ρ是从原点出发到这条曲线

而这条曲线我们来看看这条曲线

这条曲线的话是

x平方除以a方加上y平方除以b方等于一

我们把x等于aρcosφ

y等于bρsinφ

代进去之后 你会发现

这条曲线就是ρ等于一

既然ρ等于一

所以呢ρ的变化范围是大于等于零

小于等于一

所以呢我们把直接坐标系下

这么一个四分之一椭圆这么一个区域

在椭圆坐标系下

就变成了一个长方形的区域

这当然给我们的计算带来了极大的方便

我们区域改变之后

我们在这么一个椭圆坐标系的坐标变换下

我们把原来的积分变成了什么东西呢

八倍放在那

我们来看看φ的变化范围

是从零到二分之π

零到二分之πdφ

ρ的变化范围是从零到一

零到一

被积函数呢是c乘上根号一减去

x方除以a方呢就等于ρ方cos方φ

y方除以b方呢等于ρ方sin平方φ

sin平方加cos平方等于一

所以呢 实际上最后剩下就是ρ平方

那么还有一个问题

就是面积之间是怎么改变的

那我们就要来算这么一件事情了

偏x偏ρ偏x偏φ

偏y偏ρ偏y偏φ

的行列式的绝对值

我们可以仔细算一下

就等于ab乘上ρ

所以呢再乘上abρdρ

要注意这个东西千万不能落掉

有一点点可以有小的技巧的地方

我们可以算一下这个积分

这是先算的一个积分

二次积分有一个先算的

有一个后算的

这是先算的那个积分

我们可以发现 这个积分

被积函数是不是跟φ是没有关系的

积分的上下限跟φ也是没有关系的

所以这个积分算完之后就是一个常数

作为一个常数

可以把它拿到积分号的外面

那么剩下那个积分不就是

一从零到二分之π的积分

所以呢就是等于二分之π

所以它就等于

八乘上二分之π

再乘上零到一的积分c根号一减ρ方

乘上abρdρ

要注意这件事情可以行得通

或者说可以正确的时候

需要满足一定的条件

被积函数要跟

后面这个积分φ是没关系的

不出现φ

积分上下限也不出现φ

这时候是可以这么来做的

那么这样的话我们可以发现

它是等于四倍的π乘上abc

从零到一的积分根号一减ρ的平方

乘上ρdρ

这就变成了一个定积分了

而且这个定积分是一个很容易算的定积分

因为如果你要再算一下的话

等于四的π abc

零到一的积分根号一减ρ平方

再乘上d的

二分之一的dρ的平方

连三角公式都不需要的

那么我们可以发现

最后算一下等于

三分之四的πabc

作为一个特例

如果a等于b等于c的话

这就是一个球的方程

所以呢球的体积的话

当然就是三分之四πr三次方

好我们来看看二重积分的应用

一个很重要的应用

就是曲面的面积

假如说空间有一个曲面

x等于u v的函数

y是u v的函数

z呢是u v的函数

其中u v呢是在一个平面区域上

是一个有界区域

这个曲面S呢

这些函数x y z

都是C1类的函数

也就是所有的偏导数都是连续的函数

并且满足正则曲面

也就是说 如果说我把A写成是

y对u的偏导数 y对v的偏导数

z对u的偏导数 z对v的偏导数

把B写成是

z对u的偏导数 z对v的偏导数

x对u的偏导数 x对v的偏导数

C呢写成是

x对u的偏导数 x对v的偏导数

y对u的偏导数 y对v的偏导数

并且满足

A方加上B方加上C方是不等于零的

满足这些条件

在满足这些条件的情况下

我们看一下

我们想求的就是空间曲面

S曲面的面积

其中呢u v呢

是一个平面区域上的一个有界区域

这个呢Duv

这个是S曲面

我们要求这个S曲面的面积

我们所用的工具呢还是那个工具

我们把S曲面做分割

分割完了之后每一小片做近似

最后求和最后求极限

最后呢把它用一个积分

来把它构造出来

我们这个分割呢是在uv平面做分割

我们在uv平面上我们找很小的一小片

分割一个小的长方形的条

我们取几个点

我们把这个点呢叫做P0

这个点叫做P1

这个点叫做P2

我们对uv平面上做分割

这是u这是v

比如说我们这条线

我们把它叫做u等于u0

也就是P0这一点

它的坐标是(u0,v0)

P1这一点呢

它的坐标是(u0+Δu,v0)

P2这一点呢

它的坐标是(u0,v0+Δv)

ΔuΔv都是小量

那么我们看一下这条线

u等于u0 我们把它代进去之后

我们可以发现u等于u0

它就是S曲面上的

把v看成参数的话

就是S曲面上的一条曲线

同样把u等于u0加上Δu

把它写上去 这么写上去

实际上这个四条直的线

我们把它代入这个曲面的方程

相对应的就是曲面上的四条曲线

其中这有几个交点

这个点呢叫做P0星号

这一点呢叫做P1星号

这一点呢叫做P2星号

我们把这个小曲面呢给它放大

放大之后我们可以知道

就是这么一个曲面

这一点叫做P0的星号

这一点叫做P1的星号

这一点叫做P2的星号

那么P0P1P2它的坐标就是这么一个坐标

那么P0星号的坐标

x呢就是(u0,v0)

y呢也是(u0,v0)

z呢也是(u0,v0)

曲面上的一点

P1星号呢 它的坐标

x呢是(u0+Δu,v0)

y呢是在(u0+Δu,v0)上取值

z呢也是在(u0+Δu,v0)上取值

这是P1的星号的坐标

P2星号的坐标

x呢是在(u0,v0+Δv)取值

你看(u0,v0+Δv)取值

同样y呢也是在(u0,v0+Δv)取值

z呢也是(u0,v0+Δv)的取值

我们来看一看

向量P0星号P1星号构成的一个向量

也就是说相当于这么一个向量

这个向量呢是P1星号减去P0星号

那么分成几个分量

第一个分量是x在(u0+Δu,v0)取值

减去x在(u0,v0)取值

用一下微分中值定理

大概基本上就是近似于

偏x偏u在(u0,v0)取值乘上Δu

第二个分量是y在(u0+Δu,v0)

减去y在(u0,v0)取值

再用一下关于y这个函数的

微分中值定理就是

偏y偏uΔu

第三个分量就是z

偏z偏uΔu

或者说呢 我们把它写成

偏x偏u 偏y偏u 偏z偏u乘上Δu

同样我们可以发现

P0星号P2星号构成的一个向量

就相当于P2减去P0

这时候我们大家会发现

u第一分量是不变

第二分量是改变的

所以呢它就近似于等于

偏x偏v 偏y偏v 偏z偏v乘上Δv

这是两个向量

这个曲面尽管是很小一片

但是它也是曲面

那么这个曲面的它的面积

近似的可以由两个向量

所张成的平行四边形的面积近似的表示

那么这个平行四边形的面积

曲面的面积呢

近似的等于平行四边形的面积

这个平行四边形的面积

又近似的等于这两个向量

P0星号P1星号作为一个向量

和另外一个向量P0星号P2星号作为一个向量

叉积的模

因为我们讲两个向量叉积

它的大小呢或者说模呢

就是由这两个向量所张成的平行四边形的面积

正好就是这个面积

方向的话就是垂直方向

所以呢我们现在用的是面积

那么也就是说这两个向量做叉积

这两个向量的叉积我们算一下之后

我们就可以发现

它就等于根号A方加上B方加上C方ΔuΔv

其中这个A B C实际上就是我们这算出来的A B C

这就是曲面上的面积

和这个ΔuΔv实际上就是

Duv这个区域上的长方形面积

它们之间的一个比例关系

那么我们可以知道 S这个面积

我们做累加 我们分割完了做累加

所以的都加一遍

累加之后再让分割趋于零

最后我们再用积分的定义

我们就可以知道

S呢就等于在Duv上

根号A方加上B方加上C方dudv

我们同样用了二重积分的定义

分割 然后呢取点 累加 求极限

判断无关性

只要这是一个C1类的函数

并且A B C不同时为零的话

那么这个曲面的面积就等于

根号A方加B方加上C

这么一个二重积分

作为一个特例

如果说这个曲面它的方程

是由z等于z(x,y)来表示

其中呢xy呢是一个平面区域

Dxy属于一个xy上的平面区域

那么这时候曲面的面积

也是一个Dxy上的二重积分

我们去算一下 A B C

最后我们算的结果就可以写成是

一加上z对x的偏导数括弧平方

加上括弧z对y的偏导数括弧平方dxdy

可以用一个关于xy的二重积分

来表示这么一个空间曲面的面积

所以这是一个参数方程的曲面公式

这是一个显函数方程

z等于xy显函数方程的曲面的面积公式

我们下面给一个例子来看一下

好 我们来看一下例子

S这个曲面

曲面的方程是z等于根号

x平方减y平方

它包含在某一个柱面

x方加上y方括弧的平方等于

a方x方减y方

包含在柱面内的那部分曲面内的曲面面积

好 我们知道

一加上偏z偏x括弧的平方

加上偏z偏y括弧的平方

这不就是求曲面面积所要的么

我们把z等于根号x方减y方

朝里面一代

就等于根号两倍的x方除以x方减y方

那么积分区域Dxy呢

是这么一个区域

就是x方加上y方括弧的平方

小于等于a方x方减去y方

这个区域是什么东西呢

我们在直角坐标系下不太好看

我们把它写成极坐标系

x就等于ρcosφ

y就等于ρsinφ

朝里面一代的话

那么左边那个是ρ的四次方

小于等于a平方乘上ρ的平方

cos平方减sin的平方是cos两倍的φ

把ρ平方ρ平方消掉一次

那么也就是说ρ小于等于

a根号cos两倍的φ

这个曲线的

它这个曲面的边界线的形状呢

大概是这么一个样子

从负的四分之π出发到零

到正的四分之π回来

然后呢 另外一半是对称的

完全是一个对称的区域 双纽线

这就是Dxy区域

左右是对称的

所以呢我们知道曲面的面积S

就是等于Dxy这个区域上

根号2x平方x平方减y平方dxdy

就可以用这么一个二重积分来表示

那么在极坐标的坐标变换下

我们可以知道这个曲面

左右是对称的

积分区域左右也是对称的

所以呢它就等于

两倍的D右侧的那个区域上的

两倍的根号x平方x平方减y平方dxdy

就等于两倍的根号二

φ呢从负的四分之π到正的四分之πdφ

ρ呢是从原点出发到边界线

边界线ρ等于acos两倍的φ

所以呢ρ呢从零到a乘上根号cos两倍的φ

被积函数呢就是x

x呢就是等于ρcosφ除以

x平方减y平方

就是等于ρ根号

x平方呢等于ρ的平方cos平方φ

y平方呢是ρ的平方sin平方φ

就是cos两倍的φ

极坐标变换乘上ρdρ

把这个消掉

等于两倍

因为这个对称性

所以呢等于四倍的根号二

从零到四分之π的积分dφ

从零到a根号cos2φ的积分

乘上ρcosφ

除以根号cos2φdφ

我们把φ

跟φ有关系的提出来

里面的被积函数等于

二分之一ρ的平方

所以等于二分之一跟二抵消

剩下的二倍的根号二

零到四分之π

a平方cosφ

再乘上根号的平方就是cos2φ

除以根号还是cos2φ dφ

也就等于二倍的根号二 a的平方

从零到四分之π

内部呢是等于 用倍角公式

一减去两倍的sin平方φdsinφ

最后算一下

用一下变量代换算一下

就等于二分之πa的平方

这就是我们这张曲面

包含在柱面

这是一个柱面内的

这个曲面的面积的具体的计算过程