当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第一章 多元函数微分学 > 第一节 多元连续函数 > 内点、外点、边界点-1
好 在这节课里面我们来讨论一下
点集与点的关系
为了刻画点与点集之间的关系
我们先引进一个概念
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我们先引进一个概念
就是所谓邻域的概念
我们给出邻域的定义
设P0是R中的一个点 δ是大于零的实数
那么 我们就称 到P0的距离小于δ的点
构成的集合是P0的δ邻域
（注：动画中的“领域”有误，应为“邻域”）
记作U P0 δ
如果邻域的大小我们并不关心的时候
可以简记作 U P0 在邻域的定义中
如果P到P0的距离小于δ 而且是大于零
那么 得到的这个点集
我们就称为是P0的一个去心邻域
去心邻域与邻域相比 就是把P0抠掉
实际这个邻域的概念
在R1 R2 R3空间中 我们实际早就接触过
譬如说 在R1里面 就是x减x0的绝对值小于δ
这表示的是x0为中心 半长是δ的一个开区间
而在R2里边 它表示的是
x减x0的平方 再加上y减y0的平方 开方小于δ
这应该是圆心在x0 y0
半径是δ的一个圆盘
不包括这个边界 也就是不包括圆周
当然 在空间中 也就是在R3中
它表示的应该是 以P0为球心
半径是δ的一个球体 不包括球的表面
这是关于邻域的概念
有了邻域的概念之后
我们就可以讨论 点与点集的关系
首先 我们来看什么叫一个点集的内点
我们给出定义
设D是Rn中的一个点集 P0是D中的点
如果存在大于零的实数δ
使得P0的δ邻域包含在点集D中
则称P0是D的一个内点
所有内点构成的集合 称为点集D的内部
这是关于一个点 所谓是一个点集的内点
指的是什么意思
实际上就是这个关系 在数轴上
也就是 如果点集是个开区间
那么开区间中的任何一点
我们总可以找到 以这个点P0为中心
这么一个小开区间 这个小开区间
自然应该是能被这个大的开区间所包含
也就是说 数轴上
开区间中的任何一个点
应该都是这个开区间的内点
那么 对开区间来说 它的内部
跟这个集合本身是相等的 相等的
好 我们来看一个简单的例题
我们假设D是平面中的一个点集
横坐标平方加上纵坐标平方小于1
我们来证明 D中的任一点都是D的内点
我们怎么证明一个点是一个点集的内点
实际我们就来看一下 什么叫内点的定义
也就是说 对D中的任意一个点
我们来找一个
以它为中心 这么一个圆盘
这个圆盘能够全部地包含在这个点集D中
所以我们只要 对D中的一个点P0
能够找到以它为中心的一个圆盘就可以了
P0给出来了 那么我们就假设
这个P0到原点的距离 用R来表示
也就是 记R就等于d P0到原点的距离
那么在这里面 R就是个确定的值
因为P0在这个点集里面
所以这个R 则R是个小于1的值
当然它是非负的
这样 我们就令我们的δ等于二分之一倍的1-R
那么δ就是一个大于零的数
现在我们来看一下 就是这个P0的δ邻域
会不会全部包含在这个点集D中
那么 对于任意的P属于这个P0的δ邻域
我们来看一下 这个P到原点的距离
这个 当然它根据三角不等式
它应该小于等于P到P0的距离
再加上P0到原点的距离
在这里面 这个距离应该是小于δ的
它应该是小于δ 而这个距离
就是我们刚才的R
我们把δ与R的关系代进来
也就是等于二分之一倍的一加上R
因为R是大于等于零小于一的一个数
所以说 这个值应该是小于一的
那 到此为止我们证明了这么一件事情
也就是 这个P0的δ邻域中的任何一个点
它到原点的距离都是小于1的
或者说 这个邻域中的任何一个点
也是这个点集中的点
根据集合的包含关系 我们就证明了
这个点集 也就是P0的δ邻域
包含在这个点集D中 这样
根据内点的定义 我们就证明了
这个P0就是D的内点
因为我们这个P0是任取的
所以 就证明了这个结论
D中的任一点都是它的内点
这是关于 什么叫点集的内点
接下来 我们类似地给出
什么叫一个点集的外点
这个定义是这样子的
设D是Rn中的一个点集
P0不是点集D中的一个点
如果存在一个大于零的实数δ
使得P0的δ邻域与点集D是不相交的
则称P0是D的一个外点
所有外点构成的集合叫点集D的外部
实际上内点和外点
它的定义应该是类似的
它的点与点集的关系也是相应的
你譬如说 我们同样来看这一个例题
也就假设D是平面中的一个点集
实际上 也就是以原点为圆心
半径为1的一个开圆盘
那么我们来证明 证明这件事情
证明点2 0 是我们刚才说的这个点集D的外点
那么 我们要证明这个点是这个点集的外点
也就是要找一个δ 使得这个点的δ邻域
与这个点集的交集是空集
我们把这个点记成P0
现在我们就取δ就等于一个二分之一
那么 我们看一下
这个P0的δ邻域中的点
是不是都不会是D中的点
也就是我任给P属于U P0 δ
我来看一看 这个点P到原点的距离
那么 它应该是大于等于
就是 这个P0到原点的距离
减掉 这个P0到P点的距离
这用的是距离的三角不等式的另外一个形式
在这里面P0到原点的距离应该就等于二
而这个距离 应该它是小于二分之一
这个距离小于二分之一
我们给它放大到最大
那么 我们这个等号就会变成一个严格的不等号
所以它就应该大于二减掉二分之一
等于二分之三 也就是说
P0的δ邻域中的任何一个点
到原点的距离都是大于二分之三的
当然它不会落在
圆心在原点 半径为一的圆盘里面
这样也就证明了这个P0的δ邻域
与这个点集的交集是空集
根据外点的定义
也就是说P0这个点 是这个点集的外点
这是关于一个点是一个点集的内点和外点的概念
以及对简单的点集来说 我们怎么样用定义去讨论
一个点是不是它的内点 是不是它的外点
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
