混和偏导数与求导顺序无关的条件在线视频

前面我们通过一个例题知道

就是说 高阶混合偏导数

它值的大小

有时候是与求导顺序无关的

现在我们给出一个结论

这个结论告诉我们

就是当混合偏导数满足一定条件时

实际它的值的大小

与求导顺序是无关的

我们写一个

混合偏导数与求导顺序无关的条件

关于这个条件

我们写成一个定理的形式

若偏方f偏y偏x与

偏方f偏x偏y在(a,b)这一点

它都是连续的

则偏方f偏y偏x在(a,b)这点的值

与偏方f偏x偏y在(a,b)这点的值

是相等的

也就是说 这个定理就说明

只要二阶混合偏导数

在这一点都是连续函数

那么它的值的大小就是相等

也就是说 这个二阶混合偏导数的值

它就与求导顺序无关

下面我们对于这个结论

给出一个简短的证明

现在就是说我们要考虑

它在(a,b)这点的

两个方向上的导数问题

所以说 我们考虑(a,b)这点

既在平行于x轴方向上有变化的点

也在y轴方向上有变化的点

这样就是在(a,b)这一点

我们应该考虑到(a+Δx,b)

和(a,b+Δy)

那现在对于这两个新的点来说

因为我们给的是偏导数的条件

所以我们还要会考虑在这两个点

平行于坐标轴方向上的其它点

也就是我们还会牵扯到

(a+Δx,b+Δy)这一点

所以在这个问题里面 我们应该

牵扯到这四个点上的函数值

现在我们利用这四个点上的函数值

得到这个表达式

也就是说 比如说我用L来表示

L(Δx,Δy)也就等于f(a+Δx,b+Δy)

减掉f(a+Δx,b)减掉f(a,b+Δy)

再加上f(a,b)

那么对这个表达式

我们一方面可以利用结合律

看成是这个样子

也就是 提出来

那么对这两个中括号来说

大家看一下

它第二个变量位置上

都是b加Δyb b加Δyb

所以这个时候 我们可以考虑这个函数

也就是考虑φ(x)就等于f(x,b+Δy)

减掉f(x,b)

如果考虑这个函数的时候

那么这个中括号之差

就可以看成是

φ在(a+Δx)这点的值

减掉φ(a)这点的值

这是一种写法

另外 对这个表达式

我们利用交换律和结合律

自然还可以写成这个样子

就是f(a+Δx,b+Δy)减掉这一项

减掉f(a,b+Δy)

然后再减掉 括号里面是这一项

就是f(a+Δx,b) 再减掉f(a,b)

那么对这两个中括号中的表达式

大家看一下

它的第一个自变量位置是

a+Δx a a+Δx a

所以对这两个括号

我们可以令 ψ(y)就等于一个

f(a+Δx,y)再减掉一个f(a,y)

如果我们ψ(y)表示的是这个函数

那么这两个中括号的差

就可以表示成ψ在b+Δy这点的值

减掉ψ在b这点的值

这样的时候 那么

这个L的表达式的值

可以看成是这个一元函数

在两点值的差

而我们条件给的是导数的条件

大家自然应该能想到

Lagrange微分中值定理

就是利用导数来处理

两点函数值差的问题

所以说 我们用第一种形式

就会得到我们的L(Δx,Δy)

就等于这个函数在a加上

比如说αΔx再乘上Δx

也就是说φ在这点的导数值

乘上两点之差

如果我们用第二个形式

它自然也会等于

就是这个ψ它的导数值

在b加上β乘上Δy这点的值

再乘Δy

其中αβ都是大于零小于一的数

请大家看一下

我们的φ(x)是这个函数

它关于x的导数

实际就是f关于x的偏导数之差

所以说我们利用第一个形式

就会得到我们的L就等于

偏f偏x然后在这一点的值

这一点也就是(a+αΔx,b+Δy)

减掉偏f偏x它在(a+αΔx,b)这点的值

再乘上我们的Δx

那么如果我们利用第二个形式

大家再看一下我们的ψ

ψ关于y的导数实际上就是

原来函数关于y的偏导数

在这两点值的差

所以利用第二个形式我们就会得到

偏f偏y它在(a+Δx,b+βΔy)这点的值

减掉偏f偏y它在(a,b+βΔy)这点的值

再乘上Δy

我们现在看这个中括号

中括号 实际上大家看一下

它求偏导数的第一个分量是一样的

我们认为第一个分量它是一个常数

这时候它就变成了关于第二个分量的

一元函数在两点值的差

那么我们进一步用Lagrange中值定理

它就会得到这个东西

关于y求偏导数在某一点的值

也就是偏方f先x后y偏y偏x

它在这一点a+αΔx

这边应该是b加上k1倍的Δy

原来有个Δx

又出来一个两点之差Δy

而对第二个表达式

我们注意到它第二个分量是一样的

所以我们认为第二个分量是常数

这样就变成了是关于第一个分量的

一元函数在这两点值的差

那么我们再用Lagrange中值定理

它就会得到偏方f

这是先关于y后关于x求偏导

偏x偏y 它在这一点的值

也就是a加上k2倍的Δx

再一个b加上β倍的Δy

原来有一个Δy

现在两点值的差出来一个Δx

所以到此 我们就把同一个表达式

用两种不同的形式表示出来了

在这里面 我们后面这个字符

是一样的 消掉

然后 我们让Δx Δy 趋向于零

也就是这个点 以及这个点

它应该都趋向于(a,b)这个点

而我们的条件是

它的两个混合偏导数

在(a,b)那点都是连续的

也就是说 它们在ΔxΔy趋向于零时

这个应该趋向于偏方f偏y偏x(a,b)

而这一个极限应该趋向于

偏方f偏x偏y(a,b)

因为它是相等的 极限存在

极限自然相等

这样我们就证明了

在混合偏导数连续的前提下

它的值与求导顺序是无关的

我想在这个证明过程中

我们引进这个表达式

自然是证明的关键

而这个表达式的引进

主要是考虑到 在偏导数的条件下

我如果要想处理这个函数

我必须把这个点

放到平行于坐标轴的直线上

主要才可能用上偏导数的概念

或者是性质

有了这个结论之后 我们就知道

对一般的函数来说

它的混合偏导数的连续性

是能够保证的

所以我们求高阶混合偏导数时

一般不再强调它的求导顺序

因为我们用什么顺序求出来

都是同一个值