三元函数条件极值问题的提法（之二）在线视频

好 接下来我们看一下

三元函数在两个约束条件下的条件极值问题怎么提

我们仍然来求一个三元函数

f(xyz) 他的局部最大

或者是局部最小的问题

现在我们把xyz限定在一条曲线上

曲线方程我们以一般方程形式给出

也就是把曲线

看成是两张曲面的交线

所以说这就是三元函数

带有两个约束条件的条件极值问题的提法

从几何上看

也就是 我们并不是在

三元函数的定义域里面

来求他的局部最大最小

我们是在定义域中的某一条曲线上

来看他的最大最小值

对于一般的多元函数

我们最多可以带到n-1个约束条件

这个多元函数指的是n元函数

也就是说 对于一般的多元函数

我们来提条件极值问题的时候

可以这样来提

就是目标函数是f1 f(x1 x2 一直到xn)

这是个n元函数

我们的约束条件

如果带有一个的时候

就是g1(x1,x2...xn)=0

如果带有两个约束条件的时候

就是再加上一个g2(x1,x2...xn)=0

最多我们可以对n元函数

提到n-1个约束条件

就是gn1(x1,x2...xn)=0

这样 我们对一般的

多元函数的条件极值问题的提法

通过前面几个具体的例子

我们可以理解一般的

可以提成这个样子

现在我们来看一下

对于三元函数

在两个约束条件极值

约束条件下 他的条件极值点

应该满足什么条件

现在我们还是这样

就是说由这两个约束条件

我们在一定条件下

可以得到一个y是x的函数

z也是x的函数

那么 我们把这个xyz

限定在这条曲线上时

我们的目标函数的取值

应该就是f(x,y(x),z(x))

我把这个函数值用一个记号表示

给他表示成U

那么考虑这个条件极值问题的解

也就是要考虑这个非条件极值问题的解

对于非条件极值问题来说

在他导数存在的前提下

极值点导数一定等0

所以我们就求导

dU/dx应该就等于偏f偏x

加上偏f偏y再乘上dy/dx

再加上偏f偏z乘上dz/dx

这是链导法则

现在我们就看一下

这个y和z关于x的导数是怎么来的

实际上因为y(x)和z(x)这个一元函数是由这个等式确定的

那我们做的时候就在这个等式两端关于x求导

我们就会得到g关于x的偏导数

我用这个记号来表示

再加上g关于y的偏导数

再乘上dy/dx

再加上g关于z的偏导数

乘上dz/dx

他应该是等0的

接下来我们

在第二个方程两端关于x求导

我们就会得到

h关于x的偏导数

加上h关于y的偏导数乘上dy/dx

再加上h关于z的偏导数

再乘上dz/dx等于0

实际上 我们得到的这个方程组

这就是前面

我们求隐函数组的导数时用的方法

在这个方程组里面

我们把我们要的这两个导数值求出来

解一个线性方程组

我们就会得到dydx等于

分母上是一个二阶行列式的值

这个二阶行列式应该是

g关于x的偏导数

g关于z的偏导数

h关于y的偏导数

h关于z的偏导数

这样构成了一个二阶行列式

而分子上也是一个二阶行列式的值

他的两行分别是

g这个地方我们就

写成关于z的偏导数

g关于x的偏导数

第二行就是

h关于z的偏导数

h关于x的偏导数

这是这个导数

类似的 我们可以把dzdx表示出来

dzdx也就等于

分母跟dydx的分母是一样

也是一个二阶行列式的值

而分子应该是这一个二阶行列式

第一行也就是g关于x的偏导数

g关于y的偏导数

第二行h关于x的偏导数

h关于y的偏导数

所以说我们就利用约束函数

g和h把这两个导数表示出来了

那我们把这两个导数表达式

往这个等式里面一代

也就是得到了dUdx应该等于

偏f偏x再加上偏f偏y

乘上 我们在这个地方的dydx

二阶行列式

我就不再重抄一遍了

就乘上这个二阶行列式

再加上偏f偏z

再乘上dzdx这个表达式

也是两个二阶行列式之比

就得到这个东西

那么在条件极值点处

这个导数应该是等0的

这个导数应该等0

那么我们把这个东西转化一下

他也应该就等价于

这个行列式乘上他

也就是偏f偏x

这个行列式我们写一下

就是g关于y的偏导数

g关于z的偏导数

h关于y的偏导数

h关于z的偏导数

这就是这个行列式

再加上偏f偏y

乘上这个分子上的行列式

也就是g关于z的偏导数

g关于x的

h关于z的

还有h关于x的偏导数

再加上偏f偏z

乘上这个分子的二阶行列式

这应该是g关于x的偏导数

关于y的偏导数

h关于x的偏导数

h关于y的偏导数

他应该等0

这个等0

我们可以给他理解成

两个向量的内积等0

其中一个向量

就是由f的三个偏导数构成的

这当然是f这个三元函数的梯度向量

而另外一个向量

他的三个分量

正好是这三个二阶行列式做分量构成的

在前面我们介绍微分学的几何应用的时候

我们知道这三个二阶行列式

作为分量构成的向量

应该正好是

gxyz和hxyz两个三元函数的

梯度向量的叉积向量

也就是说这个公式正好等价于是

这个约束函数

他的梯度函数

与这两个向量的叉积向量

构成的这个向量

他的内积是等0的

因为我们知道

两个向量的叉乘是一个新的向量

这个向量与原来的这个向量

应该是垂直的

那么他与他这个点积等0

说明这个梯度向量

应该是与原来那两个梯度向量是共面的

因为他与

与这两个向量都垂直的一个向量是垂直的

所以说这样我们就得到了

这三个梯度向量是共面的

共面的时候

那么 我一定能找到两个实数

分别用λ和μ来表示

使得这个梯度向量

与这两个梯度向量的这样的线性组合

应该是一个0向量

应该是一个0向量

实际上我们最后这个等式

这就是我们常用的

三元函数在两个约束条件下

他的条件极值点应该满足的必要条件

这个我们就给他写成一个定理

写成一个定理

我们假设函数fxyz gxyz和hxyz

都是具有一阶连续偏导数

而且gxyz和hxyz的

梯度向量的差乘向量

不等于0向量

那么若x0y0z0这个点

是以gx hx为约束函数

fx为目标函数的条件极值问题的解

那么目标函数在这点的梯度向量

与这两个约束函数在这点的梯度向量

应该是共面的

也就是存在实数λμ

使得f的梯度向量

加上λ倍的g的梯度向量

再加上μ倍的h的梯度向量

等于0向量

在这个定理中

我们这给的这个条件

两个约束函数的梯度向量

叉乘不等于0向量

实际上就是在前面我们做计算时

这三个二阶行列式的值不能同时等0

这样就能保证我们作为一个方程组来说

它能够确定y和z是x的函数

或者说能够确定

xz是y的函数

当然或者能确定y是xz的函数

我们那三个二阶行列式不等于0

实际上就是保证

这两个方程构成的方程组

要么能够确定yz是x的函数

要么能够确定xz是y的函数

或者是能够确定xy是z的函数

也就是说我们刚才推导过程中

把这个函数

两个函数确定的那个隐函数

他的存在性就保证了

当然在整个推导过程中

我们做到 做了导数运算

导数运算 那就是说

应该满足我们这些求导法则的条件

实际上我们的条件

在这个定理里面加的

这三个函数具有一阶连续偏导数

和这个梯度向量的叉积不等0

就是保证了

我们在前面的运算都是成立的

实际上最后这个结果

我们也可以换一个角度来理解

在前面介绍微分学应用的时候

我们知道这两个曲面相交的曲线

他的切向量

应该就是这两个梯度向量的叉乘

而我们前面又说过

说 约束函数

如果让他的点

在一条曲线上变

那么目标函数

取到最大最小的时候

那么目标函数

他的梯度向量

应该是与曲线是垂直的

什么叫与曲线垂直

自然就是与曲线的切向量是垂直的

所以说我们就得到

这就是目标函数的梯度向量

而这就是那条曲线的切向量

他自然应该就是垂直的

这是关于三元函数

在两个约束条件下

条件极值点

应该满足的必要条件