当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第二章 多元函数微分学应用 > 第二节 多元函数的极值 > 极值点的概念和必要条件
好 从这节开始
我们来介绍一下多元微分学
第二部分的应用
就是关于多元函数极值的问题
我们先来看一下
多元函数极值的概念
在一元函数部分
我们知道 一元函数的极值
主要指的是某一点的值
与这一点附近的函数值作比较
如果 它是这一点及其附近这些点的
函数值里面最小的
那我们就说这点的函数值是极小值
如果它是这一点及其附近
所有的点的函数值里面最大的
那我们就说这一点的函数值
是函数的极大值
实际上多元函数的极值
与一元函数的极值 是一样的
我们以二元函数为例
来看一下多元函数极值的定义
我们设函数f(x,y)
在点(a,b)的某个邻域U内有定义
如果对任意的(x,y)属于U
(x,y)不等于(a,b)时
总有f(x,y)小于f(a,b)成立
则称f(a,b)是函数f(x,y)的一个极大值
(a,b)这个点
就称为函数f(x,y)的一个极大值点
类似地 如果对于U中的任一点(x,y)
在(x,y)不是(a,b)这个点时
总有f(x,y)大于f(a,b)成立
则称f(a,b)是函数的一个极小值
相应地 (a,b)这个点
就称为函数的一个极小值点
我们通过函数在一点
极值和极值点的概念
我们知道 函数的极值
与一元函数一样
仍然还是一个局部性质
它在这一点只是与这一点附近
其它点的函数值做比较
我想 这是关于极值
需要大家注意的
另外一个 从定义域我们可以看出
我们是说 它在P0的某个邻域内
这一点的函数值是最大或者是最小
言外之意就是说
函数定义域它的边界点上的点
我们不能把它作为极值点
因为作为边界点的时候
我们不能保证
在边界点的一个邻域内
函数还都是有定义的
这是关于极值和极值点的概念
需要大家注意的 一个是局部性
一个是我们不考虑边界点
作为极值点的情况
这是关于这个概念
有了这个定义之后
我们问极值点应该满足什么条件
在一元函数的时候
我们知道 如果它导数存在
它又是极值点
那么导数一定等于0
当时我们把这个结论
称为所谓的费马定理
我们看一下 对多元函数来说
这个定理还是成立的
我们以二元函数为例
把这个结论写成一个定理
设函数f(x,y)
在点(a,b)的两个偏导数均存在
若(a,b)是函数f(x,y)的一个极值点
则函数f(x,y)在(a,b)点的
两个偏导数都等于0
这个定理 也就是说
如果函数在一点偏导数都存在
那么只有当它的偏导数等于0时
它才可能是极值点
因为定理的内容是说
如果它是极值点
那么在偏导数存在的前提下
偏导数是一定等于零的
接下来我们利用
一元函数的费马定理
来证明一下这个结论
因为根据极值点的概念
我们看一下 我就考虑这个函数
也就是我把
f(x,y)的第二个变量固定取b
那么它就是x的一个一元函数
那么 如果(a,b)是这个二元函数
f(x,y)的极值点的时候
我们知 这个x = a就一定
是这个一元函数g(x)的极值点
因为它在平面上这一点是
这一点及其附近所有点的
函数值里面的最大或者最小值时
那么 特别地 沿着y=b这条水平线
它在x=a这点当然是
这点及其附近所有的函数值里面的
最大或者最小值
因为它在(a,b)这一点的
关于x的偏导数存在
所以说我们这个一元函数
在a那一点的导数是存在的
它又是极值点 导数又存在
我们自然就能够利用费马定理
推出它在这一点的导数值等于0
而这个一元函数在x=a这点的导数
也就是原来这个二元函数
在(a,b)这一点的关于x的偏导数
这样我们就证明了在极值点
关于x的偏导数等于0
类似的我们可以考虑这一个函数
h(y)就等于f(a,y)
也就是把f(x,y)的第一个变量固定
它就成了第二个变量的函数
与前面我们的讨论类似
我们知道
这个y=b应该是h(y)的极值点
而h关于y的导数 应该就是
原来这个函数关于y的偏导数
根据费马定理
我们这个h关于y的导数
在b这点是等于零的
所以说 我们原来这个函数
在(a,b)这一点
关于y的偏导数也是等于0的
这是这个极值点必要条件的证明
一般地 如果一个二元函数
在某一点它的两个偏导数都等于0
我们就说这个点
是这个二元函数的一个驻点
当然如果一个n元函数在某一点
它的n个一阶偏导数全为零
那这个点
自然也是n元函数的驻点
这个定理说明
可导极值点一定是驻点
当然 在一元函数是我们就知道
驻点不见得是极值点
对多元函数 我们以二元函数为例
请大家记住这个例子
也就是f(x,y)等于x乘y
这个二元函数
在原点 它的两个偏导数
我们直接可以求出来
应该是都等于0的
也就是原点是这个二元函数的驻点
但是 这是我们前面介绍过的
马鞍面的方程
这个马鞍面在原点
它既不是局部最高的
也不是局部最低的
换句话说
它的函数值既不是局部最大
也不是局部最小
这个例子就说明
驻点仅仅是极值点的必要条件
另外一个 请大家记住这个例子
就是h(x,y)就等于根号下x方加y方
这个函数 我们考虑原点 当然
它在原点函数值
是所有的函数值里面最小的
所以说原点
肯定是它的一个极小值点
但是这个函数
它在原点偏导数并不存在
我想后面我们做一个解释
主要就是强调了
我们在讨论多元函数极值点的时候
应该在什么范围里面讨论
在偏导数都存在时 我们就在
偏导数都等于零的点里面去找
当然 如果偏导数不存在
它也有可能是函数的极值点
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
