当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第二章 多元函数微分学应用 > 第一节 多元函数微分学的几何应用 > 空间曲线的切线与法平面（之一）
前面我们已经介绍了
多元微分学的基本内容
接下来 从这节课开始
我们来介绍一下
多元微分学的一些简单应用
在这一章里面
我们主要介绍三个方面的问题
一个就是介绍一下
多元微分学的几何应用
第二个我们来讨论一下
多元函数的极值问题
最后一个应用就是讨论一下
多元函数的条件极值
我们先看一下
多元函数微分学的几何应用
在这一部分
我们主要介绍两个方面的问题
一个是介绍一下空间曲线
在一点的切线和法平面问题
再一个是介绍一下
曲面在一点的切平面和法线的问题
我们先看第一个问题
就是空间曲线它的切线
与法平面的问题
我们先看一下它的基本概念
我们设L是一条空间曲线
M0是曲线L上的一个定点
M是曲线L上的一个动点
现在我们称M0到M构成的
这个向量单位化之后
在M趋向M0时的极限向量
是这条曲线L在点M0处的单位切向量
过点M0且与M0处的切向量平行的直线
称为这条曲线L在M0处的切线
过M0这一点且与该点的切线垂直的平面
我们就称为曲线在这一点的法平面
那么有了单位切向量的概念之后
我们就把过M0且平行于切向量的直线
称为这条曲线L在M0处的切线
然后过切点而且与切线垂直的平面
称为这条曲线L在M0处的法平面
那么根据切线和法平面的概念
我们知道 如果对一条空间曲线来说
我们要想求它的切线方程
或者是求它的法平面方程
实际上主要就求出这条曲线
在指定点的切向量就可以了
当然 关于这个切线的存在性
或者是切向量的存在性
这个在微积分课程里面我们不做讨论
我们为了保证考虑的曲线在指定点
切线总是存在的
我们对曲线的方程加上一定的条件
比如说 我们一般的是说
曲线是光滑曲线
实际就是指的它的方程函数
具有一阶连续导数
或者是一阶连续偏导数
有时候我们还说曲线是正则的
正则指的是 我们求导的时候
在同一点相应的量不能同时为零
这个量指的是什么
主要就是看这个曲线的方程
有了切线和法平面的概念之后
接下来我们介绍一下
当曲线方程给定时
我们怎么求切线方程和法平面方程
我们先看一下 就是
如果曲线方程是以参数方程给出的
也就是当曲线方程是参数方程时
我们如何求切线方程和法平面方程
我假设这个L的参数方程就是
x=x(t),y=y(t),z=z(t)
其中参数的取值范围
是在α β这个范围里面
我们说这条曲线是光滑的
指的是x(t) y(t) z(t)
这三个一元函数
具有一阶连续导数
然后我们说这条曲线是正则的
指的是 在这个地方
也就是说 这三个一阶导数
它不能同时为零
我们就用它的平方和不等于零来表示
这是我们对这条曲线做的假设
方程具有一阶连续导数
同时 一阶导数不能同时为零
在这个条件下
我们假设M0对应的参数就是t0
而M这一点对应的参数就是t
我们看一看它的切向量是什么
它的切向量这个时候我们用τ来表示
它可以是这样子
也就是让M趋向于M0
相当于是t趋向于t0
现在就是 M点的坐标应该是x(t)
减掉M0点的坐标x(t0)
这就是第一个分量
第二个分量类似的就是y(t)减掉y(t0)
第三个分量就是z(t)减掉z(t0)
这就是M0到M构成的这个向量
作为一个向量来说
我们再给它除上一个非零数t减t0
除上这个非零数
那么这个向量
跟原来t减t0之前的向量是平行的
所以说这还是切向量
然后我们前面讨论过
对这个向量值函数
如果我们求导数 求极限
实际就是对它的分量做极限做导数就可以了
那这样 根据一元函数导数的定义
在给定的条件下
我们知道 第一个分量
实际上就是这个函数在这一点的导数
第二个分量应该是
这个函数在t0点的导数值
类似的 第三个分量
应该是z(t)在t0点的导数
所以说 在参数方程形式下 我们知道
这个向量就是它在M0这一点的切向量
有了切向量之后
我们自然就可以写出
它在这一点的切线方程
切线方程 我假设
(x,y,z)是切线上的任意一点
那么x减掉x(t0) y减y(t0) z减z(t0)
如果这三个差作为分量构成一个向量
这个向量当然是跟切向量是平行的
所谓向量平行指的就是
对应分量成比例
就是它比上x'(t0)
它比上y'(t0)
以及最后一个分量比上z'(t0)
应该是相等的
这样我们就得到了
切线上的点(x,y,z)满足的等式
这实际就是切线方程
如果说我们想写
切线的参数方程的时候
那我们可以把这个比值取成参数
比如说 我们把这个比值取成λ
那第一个等式我就会得出来
x应该等于x(t0)再加上λ倍的x'(t0)
第二个等式大家自然就会得出来
y等于y(t0)再加上λ倍的y'(t0)
第三个类似的大家可以得出
z的表达式来
那这样 切线上点的坐标(x,y,z)
就都用这个参数λ表示出来了
这实际就是这个切线的参数方程
好 有了切向量之后
切线方程我们写出来了
根据法平面的定义
有了切向量之后
相当于知道了法平面的法向量
知道了法向量之后
我们又知道我们求的是
M0这点的法平面
也就是知道了平面上的一个点
和法向量之后
我们会不会写平面方程
那么我们仍然假设
法平面上的任一点坐标
就用(x,y,z)来表示
那么x减掉x(t0) y减掉y(t0) z减掉z(t0)
那么我们用这三个差
作为分量构成的向量
它一定是落在法平面上
那么法平面上的任何一个向量
自然应该是跟它的法向量是垂直的
而两个向量垂直指的是
它的所谓的内积等于零
内积我们前面介绍过
对于三维向量来说
它的内积就是对应分量相乘再相加
好 那么 法向量的第一个分量
乘上这一个数
再加上法向量的第二个分量
乘上这个差
再加上法向量的第三个分量
乘上这个差
这个应该就等于零
最后这个等式我们就给出了
法平面上任意点的坐标满足的等式
这自然就应该是法平面方程
所以说 当曲线以参数方程形式给出时
在光滑正则的前提下
我们直接利用定义
得到了它在参数t0对应的点处的
一个切向量
有了切点以及切向量
我们自然能够写出切线方程
有了点 有了法向量
我们也可以写出法平面方程
这是我们要介绍的
在参数方程形式下
切线和法平面方程的求法
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
