二重积分性质在线视频

好下面我们来讨论二重积分的性质

那么大家在学这个二重积分的性质的时候

可以去对比一下

我们看一下二重积分的性质

在哪一些呢是跟定积分是相同的

有哪些地方呢是跟定积分呢是不太一样的

第一条性质 对积分区域的可加性

假设f(x,y)作为一个二元函数

在D1这个区域和D2这个区域都是可积的

D1 D2呢是没有内点的

它们的交呢是没有内点的（注：此处视频有误）

那么f在D1 D2上并上的积分

就可以写成f在D1上的积分

再加上f在D2这个区域上的积分

第二 对被积函数的线性性指的就是

如果说f(x,y)和g(x,y)作为两个二元函数

在D区上都是可积的 A和B是两个实数

那么A f加上B g在D区域上的二重积分

就等于A乘上f在D区域上的二重积分

加上B乘上g在D区域上的二重积分

第三呢 是保序性

假如说f和g都是可积的函数

f(x,y)大于等于g(x,y)

对任意的x y属于D都成立

那么f的二重积分大于等于g的二重积分

作为一个特例

如果f(x,y)是大于等于零的 在D区域上

那么f(x,y)的二重积分也是大于等于零的

第四个性质 假如说f是在D区域上可积的

可以证明 f的绝对值构成的一个函数

在D区域上仍然是可积的

并且f在D区域上积分的绝对值

小于等于f的绝对值在D区域上的积分

第五条性质 估值性

如果说f在D区域上满足

f小于等于M大于等于m

也就是说 M是f的一个上界

m呢是f的一个下界

那么我们可以证明 f在D区域上的积分

大于等于m乘上D区域的面积S D

小于等于M乘上D区域的面积S D

我们把这个性质呢可以做小小的一个推广

如果说 另外有一个函数g呢

也是在D区域上是一个非负的可积函数

那么我们可以证明

f和g的乘积函数在D区域上的积分

大于等于m乘上g在D区域上的积分

小于等于M乘上g在D区域上的积分

第六条性质 中值定理

我们加一个条件

如果说f(x,y)在D区域上是一个连续函数

我们知道 连续函数它一定是可积的

那g(x,y)这个函数呢在D区域上是取定号

也就是说永远是大于等于零的

或者永远是小于等于零的

并且也是一个可积函数

那么f和g的乘积函数在D区域上的积分

就可以写成

f在ξ η上的点的值乘上g的积分

其中ξ η呢是在D区域上的某一点

我们把这个性质呢就叫做中值定理

假如说g恒等于1

那么我们把这中值定理可以做一个限制

就是说f(x,y)作为连续函数

在D区域上的积分

可以写成f在D区域上某一点的值

f ξ η乘上D的面积

那么第七条性质呢

就是关于对称性和奇偶性的问题

那么这条性质实际上

在我们一元函数定积分的时候已经用过了

那么对区域是有条件

这个区域 D区域呢是关于x轴是上下对称的

对函数呢也有条件

如果这个函数关于y这个变量是一个奇函数

也就f x在负y这点 x 负y这点的函数值

等于负的f在x y这点的函数值

那么在这么一个对称区域上的

奇函数的积分就等于零

如果说f是一个偶函数关于y这个自变量

那么这个对称区域上的二重积分

就等于两倍的D上呢

表示这个对称区域的上半部的区域

两倍的f在D上的积分

好我们现在来看看这几条性质

有几条性质呢我们想证明一下

第四条性质我们想证明一下

那么第四条性质我们可以知道

我们知道 f(x,y)这个函数啊

一定是小于等于绝对值的f(x,y)

这是毫无疑问的 显然的

大于等于负的绝对值的f(x,y)

那么 我们再来看看保序关系

有大 有小 这本身就是一个序的关系

我们讲过 二重积分是一个保序的

第三条性质

既然是一个保序的

那么这个大小的序的关系

在积分的意义下来讲保留了下来

所以呢负的在D区域上

绝对值f(x,y)的积分 一定小于等于

在D区域上f(x,y)的积分

一定小于等于

在D区域上的f绝对值的积分

这样 我们就直接用了

二重积分的保序性

这条性质稍微改写一下

直接可以推出下面的结论

就是第四条结论

就是 D区域上f(x,y)作为二重积分

它的积分完了之后加上绝对值

小于等于先加绝对值 f绝对值的积分

我们再来看一看 证明第五个

第五条性质

仍然是利用保序性啊

我们知道在D这个区域中

f呢有一个下界叫m

一个上界叫M

那么f既然有下界有上界

这本身就是一种序的关系

这种序的关系被二重积分所保留下来

所以呢 D区域中f(x,y)的二重积分呢

小于等于M的积分

大于等于m的积分

因为M,m作为常数

当然都可以拿到积分号外的

那么我们发现

这个东西D的积分就是D区域的面积

所以呢 我们马上就可以证明

第五条 就是所谓的估值性

好我们来看一看第六条

中值定理的证明

f是一个连续函数

f呢在一个有界闭域是连续的

多元函数的微分定理告诉我们

在有界闭集上的连续函数有两大性质

第一大性质就是最值的存在性

第二个性质就是介值定理

那么既然是有最值存在的

所以呢 f在D区域上一定有一个

所谓的最小值 我们把它记成m

最大值呢记成M

g在D区域上是不变号的

我们不妨假设 g(x,y)呢是大于等于零的

当x y属于D的时候

不变号嘛 不是永远是正的

大于等于零的 要么就是小于等于零的

另外一半 也一样可以证

既然g x是大于等于零的

那么f(x,y)乘上g(x,y)

一定小于等于f的最大值乘上g(x,y)

大于等于f的最小值乘上g(x,y)

二重积分又是一个保序的

那么这么一个不等号的这种序的关系

在二重积分的意义下一定是保留下来的

那么我们来看看 我们稍微写简单一点

f乘上g这么一个二重积分

一定小于等于M

乘上D区域上g的二重积分

小于等于m乘上D区域上g的二重积分

如果说g的积分是等于零的

那显然就可以证出来了

如果说g的积分是大于零的话

那么我们来看一看 在D区域上

f这个函数乘上g这个函数的二重积分

除以D区域上g这个函数的二重积分

一定是介于f的最大值和最小值之间的

这是我们知道的

我们把这个g的积分除过去

因为g是大于等于零的

所以g的积分一定是大于等于零的

如果等于零的话一定对的 很显然就对了

如果说大于零的话我们把它除过来就行

那么这时候我们就用到

所谓连续函数的介值定理

什么叫介值定理呢 那么我们知道

在最大值和最小值之间的

一定可以取到的

所以一定存在着一个ξ η

使得这个积分值

它就等于f在ξ η上的取值

其中ξ η呢是在D区域上的一个点

所以一定存在着ξ η 使得

因为这个分数既然是最大值和最小值之间

所有最大值最小值之间的

对连续函数都是可以取到的

我们取到了之后 我们一定存在着f

那么这个式子你稍微把分母乘过去的话

就是我们要证明的 所谓的中值定理

那么这样的话 我们马上可以证出来

那么第七条性质呢

我们稍微也要解释一下

我们这条性质分成两个

第一部分呢 就是奇函数

第二部分呢 如果是偶函数

但是对这个性质的时候

我们都是讲的是对x轴是如何如何如何如何

如果我们把它写成y轴的话

是不是也有一个相应的性质可以写出来

那么大家回去想一下

作为一个思考题大家想一下

如果我这个区域关于y轴是左右对称的

那么这个函数的奇偶性

应该是关于哪个变量是奇函数

或者说关于哪个变量是偶函数的时候

我们才有类似的这两条性质

作为一个思考题大家回去自己想一下