一阶线性微分方程的解法在线视频

好 前面我们介绍了一阶线性方程

它的概念和解的性质

接下来

我们介绍一下

如何求解一阶线性微分方程

我们先看一下

一阶线性齐次方程的求解法

实际上我们解它的时候

就是用分离变量

因为所谓的一阶线性齐次方程

它的标准形式也就是

y一撇加上p x倍的y等于零

那我们对它转移一下

就是在y不等于零时

也就是它会变成dy除上y等于负的pxdx

在这个方程里面

我们知道已经是变量分离的了

所以两边做不定积分

那我们最后处理完之后

可以写成是y等于e的负的pxdx

最后有一个系数

如果我们放在前面

这个c在这种条件下是不等零的

但是大家知道y恒等于零也满足方程

所以我们最后得到的

一阶线性齐次方程

它的通解应该写成这个样子

c乘上e的负的pxdx

其中在这个表达式里面

c就是任意常数

而我们这里有一个不定积分的记号

但在这个表达式里面

我们这个不定积分的记号

pxdx只表示一个原函数

也就是它表示的是

px的一个原函数

我们用这个记号来表示

里面不再带有积分常数

因为我们 通解里面的常数

已经处理到这个地方来了

所以

这是那个一阶线性齐次方程

它的解法

在这个求解过程里面

大家用变量分离的方法去做就可以了

得到的就是这个形式

接下来我们看一下一阶线性非齐次方程

它的求解法

也就是一阶线性非齐次方程它的解法

它的解法

我们一般是用

所谓的变动任意常数法

变动任意常数法

什么是变动任意常数法

因为对一个一阶线性非齐次方程来说

它当然

就对应着一个一阶线性齐次方程

前面我们刚说过

对一个一阶线性齐次方程来说

我们是可以通过变量分离方程的解法

得到它的解

所以我们就假设

设我这个vx

就是这个方程y一撇

加上pxy等于零的解

这是我已知的一个函数

现在我利用这个函数

我来看这个非齐次方程的解

应该是什么

我就令ux乘上vx

这个乘积函数是我的yx

就 接下来说

如果yx可以写成这两个因子的乘积

而且还要满足y一撇加上pxy等于qx

说为什么这样想

因为vx是齐次方程的解

我们知道

如果c乘上vx的时候

它仍然满足齐次方程

也就是说如果我要把

vx乘上某一个数

想让它是非齐次方程的解的时候

这个数不能是常数

因为是常数的时候

它一定不是非齐次方程的解

所以一定要把这个常数

写成一个变量的形式

实际就是与x有关的一个函数

这样的时候

我才可能会提这个要求

也就是希望这个乘积能够满足

这个非齐次方程

那当然我们看

它能不能满足

如果满足的时候

我们这个因子

也就是ux应该满足什么条件

如果这样子的时候

大家看

y一撇就等于v一撇

u一撇v再加上u v一撇

然后我代到这个关系式里面去

它就会得到

u一撇v再加上u v一撇

加上px倍的uv

应该是等于qx

在这里面我们把这两个

ux提出来

就是v一撇加上pxv

v应该是满足这个方程的

所以说这项应该是等零的

这样我们就得到了

u一撇乘上v应该等于qx

也就是u一撇应该等于qx

乘上v的倒数

因为qx是右端项

是已知的

vx我们说它是齐次方程的解

也是已知的

这样我们就得到了ux的导数

自然我们两边做积分

就会得到

ux应该等于

qx乘上v它的倒数dx

如果跟齐次方程的通解里面一样

我仅仅把这个积分

当成是一个原函数的时候

那么我把那个任意常数加在后面

这样我就得到了

ux应该是满足这个表达式

这样子的时候

我的原来

非齐次方程的解

y应该就是ux乘上v

所以说我的通解

y应该就等于

括号里面

就是C写到前面来

加上qx乘上v的倒数

dx括起来

再乘上vx

实际上

如果我们知道了

它对应的齐次方程的一个解vx

最后我们就知道

这个表达式对应的函数

就满足这个非齐次方程

这就得到了非齐次方程的通解

在这里面

我们整个的想法

就是在这

让这个常数

当成一个变数

所谓的变动任意常数法

就是指的要把这个常数

当成一个变量来处理

这种方法实际就是我们说的

求解一阶线性非齐次方程的变动任意常数法

当然 一般的

我们这个vx直接就取成

vx就等于e的负的pxdx

就取一个具体的

这时候

我们把vx代入这个通解表达式

我们就会得到

yx应该就等于

我放到前面去

e的负的pxdx

这里面是c加上qx

这边就是e的pxdx dx

也就是这个表达式里面只牵扯到了

我们这个

一阶线性非齐次方程里面的

系数函数和右端项函数

实际上

这是在微积分课程里面

我们使用的

一阶线性非齐次方程的通解公式

也就是解阶线性非齐次方程的时候

你把它写成标准形式

相应的得到了px和qx

我们不见得对每一个方程

每一次都去走这个求解过程

我们只要用这个结果就行了

在这里面

这些积分表示的都是一个原函数

最后我们看几个简单例题

第一个例题

说我们要求解y一撇

减掉x+1分之2y等于

x加1的二分之五次方

这个函数

大家一看

未知函数和它的导数都是一次方

而且只有一阶导数出现

所以说

这是一个一阶线性微分方程

而且在这里面

我们已经写成了标准形式

相应的也就是

px和qx我们都知道

所以说

解这个方程的时候

大家可以直接用这个通解公式

它的通解

yx应该等于e的负px的一个原函数

也就x+1分之2它的一个原函数

这边乘上c加上q

就是x加1的二分之五次方

这面乘上e的p的一个原函数

p是负的x+1分之二

所以这应该就是负的x+1分之二dxdx

这就是针对这个具体函数

我们用通解表达式得到的结果

最后我们把这个积分积出来

这个一积的时候

出来的应该是

x+1平方

这面

c不动

这个积分积一下

积一下以后应该出来的是

x+1括起来平方分之一

跟这个一消掉

所以这应该是加上一个

x+1它的二分之一次方dx

那大家再把这个积分做一下

这相当于是一个根下u的积分

根下u的积分大家当然知道

应该是三分之二倍的u的二分之三次方

就会得到我们最后的结果

剩下的一步

请同学们做练习写出来

我想这是这个题目

接下来我们来看第二个例题

第二个例题

我们求解这个微分方程

也就是

y一撇加上y乘上tanx减掉cosx等于零

实际上

我们的未知函数

和未知函数的一阶导数

也都是一次方

所以说

这当然是个一阶线性微分方程

但是

它这个并不是标准形式

所以我们做这个问题的时候

我们要把这个方程变成标准形式

也就是等于cosx

这样一写的时候

我们利用它那个通解公式

就会得到yx应该等于

就是e的px是tanx

所以说负px

也就是负tanx的一个原函数

这面再乘上c

加上qx

实际就是cosx

再乘上 e的px是tanx

所以说

这面就是tanx的一个原函数

再做原函数

最后我们看一下这个结果

这个就是负的tan

负的tan就是说

它的原函数

应该是ln（cosx）

所以说ln（cosx）再做指数

这应该就是cosx

这面乘上括号里面

c加上 这面tanx

tanx就是说

它的原函数应该是负的ln（cosx）

负的ln（cosx）可理解成ln（cosx）分之一

再取指数

跟这个cosx正好消掉

所以说这里面应该出来的是这个形式

这就是我们这个微分方程

它最后的解的形式

这是第二个例子

接下来我们看最后一个例子

也就是我们求一求这个

y一撇等于两倍x减y方分之一

现在我们写的形式

未知函数是y

自变量是x

这时候 大家注意一下

未知函数这个地方有分数运算

还有平方运算

它当然不能叫线性微分方程

同时我们想一想

如果把y就当成x的函数的时候

它肯定也不是变量分离的

也不是我们前面曾经介绍过的

能够通过变量替换

变成我们可求解的情况

实际上 这个方程

如果我们把x做自变量

y做因变量的时候

到现在为止

我们并不会求解这个方程

但是大家注意一下

如果我把y作为自变量

x作为函数值的时候

这个y关于x的导数

自然就是x关于y的导数的倒数

这个时候这个方程就变成了

x一撇 我给它解过来

减掉两倍的x

这面应该就等于负y方

那么把x当成函数值的时候

那么 函数值

和函数值的一阶导数

都出现的是一次方

这就是一个一阶线性微分方程

而且它的py和qy

表达式都是很简单的

所以我们就可以利用空间公式

写出它的通解

就是负px的一个原函数

p是-2 那-p就是2

它的原函数当然就是2y

所以e的2y次方

这里面是c加上

括号里面是负的y方

再乘上e的

p的一个 一个原函数

p是-2

所以它的一个原函数

是e的负的2y次方dy

写到这 大家知道

这里面最大的计算量

实际上就是问

我们会不会做

y方乘上e的-2ydy

这个原函数

这应该是典型的分部积分法

我们通过两次分部积分法

就会得到它的一个原函数

也就是说我们通过把xy转换角色

就是说

自变量因变量互调

把一个我们不会求解的方程

变成了一个很简单的

一阶线性非齐次方程

我想这是在我们求解方程时

经常碰到的一种处理方法

实际上

因为我们找的主要就是xy的代数关系

至于 你把谁做自变量

谁把 谁做因变量

应该这不是本质的

本质的是说

我能不能把里面的

导数运算或者是微分运算给它去掉

只变成有代数运算的关系式