当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第五章 常微分方程 > 第四节 高阶线性常系数微分方程 > n阶线性齐次微分方程的特征法
好 前面我们讨论了
二阶线性常系数齐次方程
它的特征解法
我们知道 对于二阶线性
常系数齐次方程来说
我们把它的求解问题 转化成了
求解一个一元二次代数方程的问题
那么对于一般的
高阶线性常系数齐次微分方程
它的求解问题 我们能不能也转化成
一般的代数方程求解问题呢
实际上我们有相同的结论
下面我们就给出 高阶的
线性常系数齐次方程 它的特征解法
就是 n阶线性常系数齐次微分方程
它的特征解法
我们现在考虑的问题
可以给它写成这个样子
也就是an y的n阶导
加上a n-1 y的n-1阶导
一直加 加到a1 y的一阶导
加到a0 y等于零
其中 我们这个系数ak都是常数
这就是所谓的n阶线性
常系数齐次微分方程
那么 对于这个方程
我们与讨论二阶时的情况一样
如果我们假设它有这个形式的解
那我们把它的一阶导到n阶导
以及y代到这个方程里面去
我们就会得到
原来这个方程就会变成
an lemda的n次方
一直加到 a1 lemda
再加上a0 e的lemda x次方
它是等于零的
而这个等于零 当然就等价于
an lemda的n次方 一直加到
a1 lemda 加上a0 是等于零的
那么这就是一个n次多项式方程
这个n次多项式方程 我们就称为是
这个微分方程的特征方程
那么 它的根 lemda就称为
原来微分方程的特征根
根据它的特征根的情况
我们就会得到
这个方程它的解的情况
关于这个 我们给出一个结论
这个结论 它的证明想法
跟二阶的时候是一样的
我们设 lemda是n阶线性常系数
齐次微分方程 它的特征根
那么我们就会得到下面几个结论
第一种情况 如果lemda是
这个微分方程的单重特征实根时
那么y等于e的lemda x次方
就是我们这个微分方程的
一个非零特解 第二种情况
如果lemda是我们这个微分方程的
k重实特征根时 那么
我们就会得到 这k个函数
分别是e的lemda x次方
x乘上e的lemda x次方
一直到e（应为x）的k-1次方
乘上e的lemda x次方
这k个函数是原来微分方程的
k个线性无关的解
第三种情况 如果我们的lemda
等于alpha加减a beta
是特征方程的一对 单共轭复根时
那么 我们就会知道下面这两个函数
也就是e的alpha x次方
乘上cos beta x
第二个函数是 e的alpha x次方
乘上sin beta x
这两个函数
是微分方程的两个线性无关的解
最后一种情况 也就是第四种情况
说 如果lemda等于
alpha加减a倍的beta
是原来微分方程的k重共轭复根时
那么我们就会知道 下面这2k个函数
分别是e的alpha x次方
乘上cos beta x
x乘上e的alpha x次方 cos beta x
一直到x的k减1次方
乘上e的alpha x次方
再乘上cos beta x
另外k个函数是 e的alpha x次方
乘上sin beta x
第二个 x乘上e的alpha x次方
乘上sin beta x
最后一个是 x的k-1次方
乘上e的alpha x次方再乘sin beta x
这样我们一共得到2k个函数
这2k个函数就是原来微分方程的
2k个线性无关的解
这个定理说明
对于n阶线性常系数齐次方程来说
实际上 我们也可以把它的求解问题
转化成 一个求解
代数多项式的解的问题
根据这个多项式的解的情况
实际上 我们就能够得到
它的n个线性无关的解
原因是 不同特征值对应的解
肯定是线性无关的
如果它是单重实根的时候
它就对应着一个非零特解
如果是k重实根的时候
它就对应着k个线性无关的特解
如果是单重复根的时候
它会对应着两个线性无关的解
如果是k重复根的时候
它会对应着2k个线性无关的解
这样的时候 我们把这些不同特征值
对应的线性无关的解合到一起
正好构成了我们这个n阶线性
常系数齐次方程的n个线性无关的解
那么 根据前面我们讨论的
齐次方程的解的结构
我们自然就可以利用这n个线性无关的解
把它的通解表示出来
这是关于n阶线性常系数齐次方程
它的特征法要解决的问题
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