二阶线性微分方程的变动任意常数法在线视频

好 前面我们对

二阶线性常系数非齐次方程的

变动任意常数法

做了简单介绍

接下来我们看一下

如果是一般的二阶线性非齐次方程

就是说不是常系数的

我们能不能用变动任意常系数的想法

来求解这样的方程

我们先看第一种情况

也就是说

我们考虑这个方程

y‘’+a(x)y'+b(x)y他等于=f(x)

就是先看一看

这样的 这时候

axbx他就不再是常数

这就是所谓的一般的

二阶线性非齐次微分方程

那么 对于这样的方程

我们也可以用

变动任意常数的想法

来求他的解

但是我们首先需要知道

他对应的齐次方程的一个非零解

也就是说 我们假设

比如说y1(x)是

y’‘+a(x)y’+b(x)y=0的非零解

就是说如果我们知道这个y1x了

我们怎么来做

他的变动任意常数法

我们可以

像下面这样推导出来

也就是我们令

y(x)=C(x)y1(x)是非齐次方程的解

我们为了得到C(x)满足的关系式

我们求他的导数

则他的一阶导应该就是

c的导数乘上y1

加上c乘上y1的导数

这是一阶导

两阶导 也就是

他的两阶导应该就等于

c的两阶导数乘上y1

再加上c的一阶导数

乘上y的一阶导数

这面再一求导

又出来一个c的一阶导数

乘上y1的一阶导数

所以这应该是个两倍

最后加上c乘上y1‘’

我们把y y‘ y’’

代到原来这个方程里边来

带进来之后我们看一下

他得出来的应该是什么

也就是y‘’+a(x)y‘再加上b(x)y

他应该等于

我们带进去

带进去之后

我们用c两撇做公因子

来看一下

那么 与c’‘有关的

只有在这个地方

是个c’‘(x)

这个是个y1 y1

然后与c1’有关的

我们看一下

c1’(x)这面乘上括号里面

这里应该有一个2y1 2y1

然后还一个y‘这个地方

与c1’有关的

应该是一个a(x)y1

然后接下来

y这个地方

当然就与c1‘没有关系了

所以应该就是这一项

第三项

我们与c(x)有关的项

这个时候在两阶导数这个地方

与cx有关的是y1的一阶导 两阶导数

在一阶导数这个地方

与cx有关的

应该是加上a(x)y1的一阶导数

在y的表达式里边

与cx有关的

当然是加上by1

这应该是这一项

最后他应该等于右端项

但是我们已经说了

y1是这个齐次方程的解

所以在这里面

这个括号应该是等于0的

这样我们就得到了

我们cx满足的方程

是c’‘(x) 然后y1

再加上c’ 也就是一阶导

乘上2y1‘+a(x)y1

这面等于f(x)

那么在这个方程里面

我们的未知函数是cx

大家看一下

在这个方程里面

实际上他是不显含未知函数cx的

他出现的只是

未知函数cx的一阶导和两阶导

这是在我们前面所讨论的

一类可降阶方程

如果大家就令

我的px就等于c’(x)

那么这个方程就会变成

p‘(x)y1再+p(x)

这面是2y1'+a(x)y1

这面等于f(x)

在这个关系式里面

我们的f(x)我们的y1x

都是已知函数

这应该是关于未知函数px的

一个一阶线性非齐次方程

一阶线性非齐次方程

我们前面介绍过

我们是有他的通解公式的

所以在这个方程里面

大家就可以把px求出来

px求出来也就相当于得到了c’(x)

那么 我们再做一次不定积分

自然就会得到cx

所以我们整个求解的思路

利用一阶线性非齐次方程的通解公式

得到px从而得到c‘(x)

进而得到cx 得到cx

那么我们的通解就是cx*y1(x)

在刚才求解的过程中

我们c是一个二阶微分方程的解

也就是这一个

所以我们在求解的过程中

应该有两个任意常数

那两个任意常数

包含在这个cx的表达式里边

所以说这是含有两个任意常数的解

自然就是原来这个

二阶线性微分方程的通解

我想这是知道了

他对应的一

对应的齐次方程的一个非零解之后

我们用所谓的

变动任意常数法的想法

来处理这个方程

接下来我们看一个例题

我们来看一下这个方程

也就是y’‘-2y’+y=e^x/x

这当然是一个

二阶线性常系数非齐次方程

这个时候

他的右端项

我们自然不能用

待定系数法去处理

因为他并不是一般的多项式

与指数因子的乘积

但是在这个题目里面

我们得到他对应的

齐次方程的一个非零解是很简单的

因为他的特征方程是λ^2-2λ+1=0

所以我们就知道

我可以取y1(x)就等于ex

那么我就令y(x)=c(x)e^x

那么在这里面

我们就求解

先求导y的一阶导应该等于

c的一阶导

再加上这是c括起来乘上ex

这是一阶导

他的两阶导

也就等于他的导数

自然就是c‘’+c‘

再乘上他不动他求导

又出来一个c’

所以再加上c

这面是ex

我们现在把y y的一阶导和二阶导

代到原来这个方程里面去

这样我们就会推出

他的两阶导

减掉两倍的一阶导加上y

应该等于 再看一下

就是这个地方

两阶导 就是c‘’

这是与他的二阶导数有关的

与一阶导数有关的

这里有一个两倍的c‘

但是这里要减掉他的两倍

所以2c’和-2c‘就消掉了

所以这个没有一阶导数项

还有一个 就是说

这个c 这里是有一个c

这里应该减掉两倍的c

这就是-c

但是后面还要加上一个

这里有一个c

所以c那一项也没有了

所以我们求出来之后

直接这个就等于两阶导数

再乘上ex应该就等于

右端项 右端项是e^x/x

所以这样我们就推出了

c’‘(x)实际就等于x分之一

那么c的一阶导做一次不定积分

应该是lnx加上一个任意常数

比如我用α来表示

然后在做一次不定积分

这个用分部积分

原函数是x乘上lnx再减掉x

这面就加上一个α倍的x再加β

αβ任意常数

当然因为α是任意常数

α-1自然也是任意常数

所以最后我们可以写成xlnx+αx+β

其中αβ表示任意常数

也就是说

下面这个α

和上面这个α

从数值上当然是不相等的

但是他表示的都是任意常数

这就是我们要找的

这一个二阶线性非齐次方程的通解

所以说对这样的方程来说

尽管我们没法用待定系数法求他的特解

但因为我们有所谓的变动任意常数法

整个求解过程应该是非常简单的

这是关于第一种情况下

如果知道了

非齐次方程对应的

齐次方程的一个非零解的时候

我们怎么样用变动任意常数法的想法

去求解这个非齐次方程