极值问题举例在线视频

好 前面我们介绍了

怎么样利用二阶偏导数的值

来讨论驻点是否是极值点的条件

接下来我们通过两个具体的例题

来看一下

具体地怎么样应用这个结论

来解决我们有关极值点判断的问题

第一个例题

我们假设函数f(x,y)

就是x平方减掉3倍的x方乘上y再加上y的三次方

对这个函数 我们做两件事情

一个是求它的驻点

第二个事情

就是判断驻点是否是极值点

因为这是一个简单的二元函数

而且它是多项式函数

所以说二阶偏导数

它的存在性 连续性 都没有问题

我们先求它的驻点

也就是先求它的一阶偏导数

是2倍的x减掉6倍xy

第二个偏导数偏f/偏y

也就等于负的3倍的x方

再加上3倍的y方

因为我们处理第二个问题时

还需要用到二阶偏导数

所以说我们再把二阶偏导数求出来

偏方f/偏x方在(x,y)这点的值

应该就等于2-6y

偏方f/偏x偏y也就等于负的6倍x

偏方f/偏y方也就是继续对y

求一次偏导数 也就等于6倍的y

我们要求驻点 实际上就是

我们令两个一阶偏导数等于零

这实际是一个简单的非线性方程组

从第一个方程我们可以看

x=0肯定满足第一个方程

当x=0时 我们知道y也是等于0的

所以说我们求解这个方程组

我们就会得到

它的一个驻点是(0,0)

如果x不等于0时

那么从第一个方程

我们就能得到y应该是等于1/3的

因为2减掉6y等于零

如果y等于1/3的时候

为了保证第二个方程也是成立的

应用第二个方程就是说

x方等于y方

那么x等于1/3和x等于负的1/3

应该都是这个方程组的解

这样 我们就把

这个方程组的所有解找出来了

所以说 这个二元函数的驻点

一共有三个

接下来我们做第二件事情

在(0,0)我们求这个A B C的值

这个时候它的A应该是等于2

B应该是等于0 C也应该是等于0

那么 我们来求一求 AC减B方

这个当然是等于零

也就是说 我们用我们给出的定理

恰好是我们无法断定

它是否是极值点的情况

但是对这个函数来说

我们发现 如果我让x取0

它就是变成了y的一元函数

那么y=0 我们知道

并不是这个三次函数的极值点

当然(0,0)这个点自然也不可能

是原来这个二元函数的极值点

所以我们就说 因为y=0

并不是这个三次函数的极值点

所以这个驻点(0,0)

也不是原来这个二元函数的极值点

这就是用了具体函数具体分析

我们通过找它一个

特殊情况不是极值点

说明了一般情况下 也不是极值点

只是在(0,0)这一点

如果在(1/3,1/3)这一点

我们来求它的A B C

在这个点 x y都是1/3

所以它的A应该是等于0的

而它的B应该是等于-2的

C应该是等于2的

这是在第二个驻点

那么我们仍然来求AC减B方

AC减B方当然是小于零的

因为B是不等于零的 A是等于零的

好 AC减B方小于零

就说清楚了 这个点是非极值点

也就是不是极值点

类似地 我们来看第三个点

在第三个点 我们来求它的A B C

它是x等于-1/3 y等于1/3

所以说A还是等于0的

然后B是等于2 它不等于0

实际到这 我们结论已经出来了

但我们还是把C写一下

这个C仍然是等于2

这个时候 AC减B方由于B不等于0

A等于0 所以这个还是小于0

也就是这个时候

(-1/3,1/3)这个驻点也不是极值点

这是我们第一个例题

尽管我们求出了三个驻点

但是通过我们的判定

这三个驻点都不是极值点

接下来 我们看第二个例题

第二个例题 我们假设

z=z(x,y)这个函数 由这个方程确定

就是x方减掉6倍的xy

加上10倍的y的平方 减掉2倍的yz

再减掉z的平方 再加上18 等于0

由这个方程确定 实际上

这个方程 我们在前面介绍

隐函数求导法的时候曾经出现过

现在我们对这同一个方程确定的函数

我们来问另外一个问题

我们来求这个函数 z=z(x,y)旳极值

就求这件事情

那这是一个隐函数

我们不知道它的表达式

我怎么样求它的极值

实际上 我们都是从这个方程出发

把它一阶导数等于0的点先找出来

还是从这个方程出发

再把它的二阶偏导数

在驻点的值求出来

那自然就可以利用我们介绍的方法

来断定驻点是 还是不是极值点

那我们看一下

在这个等式两端关于x求导

其中y(z)是(x,y)的函数

那么我们就会得到

2倍的x减掉6倍的y

再减掉2倍的y 偏z/偏x

再减掉2倍的z 偏z/偏x 等于0

这是关于x求导

为了叙述方便

我把这个等式写成第一个等式

在这个方程两端 我们再关于y求导

那就等于是6倍的x 加上20倍的y

再减掉2倍的z 再减掉2倍的y 偏z/偏y

再减掉2倍的z 偏z/偏y

这边等于0

这个 我们记成第二个等式

因为我们还要用到二阶偏导数

所以说 我们就在第一个等式两端

再关于x求导 这就是2

这边减掉2倍的y 偏方z/偏x方

再减掉2倍的 偏z/偏x 的平方

再减掉2倍的z 偏方z/偏x方 等于0

这个我记成第三个等式

在第一个等式两端关于y求偏导

我们就会得到

-6减掉2倍的偏z/偏x

再减掉2倍的y 偏方z/偏y偏x

再减掉一个2倍的 偏z/偏y 乘上偏z/偏x

减掉一个2倍的z 偏方z/偏y偏x

这个要等于0

这个等式我们记成第四个

我们再在第二个等式两端

关于y求偏导 这个时候得到的是

20减掉2倍的 偏z/偏y

减掉2倍的 偏z/偏y

再减掉2倍的 y 偏方z/偏y方

再减掉一个2倍的 偏z/偏y 的平方

再减掉2倍的 z 偏方z/偏y方 等于0

这个我们记成第五个等式

这样就把这个方程确定的一元函数的

一阶偏导数和二阶偏导数

我们都建立了联系

好接下来 我们为了求驻点

我们就让这两个等式里面的

偏导数等于0

偏导数等于0我们就会得到

2倍的x减6y等于0

实际上就是x等于3y

然后 第二个我们让偏导数等于0

当然得到的是-6x 加上20倍的y

减掉2倍z等于0

我们再把x等于3y关系代进去

就会得到z是等于y的

那有了x和z与y的关系

我们不要忘了

x y z是要满足这个等式的

我们把这两个关系

代到这个等式里面去

我们就会推出y方是等于9的

y方等于9

那么y就等于正3或者是负3

换句话说

我们的驻点就求出来了

驻点是什么

就是y就等于3或者是-3

如果y等于3时 x是三倍的y

x就是9

y等于-3时 x就应该是-9

这就是它的两个驻点 当然

这个隐函数在这个驻点的函数值

实际上我们也求出来了

因为z是等于y的

所以这个函数

在(9,3)这一点的值就是3

而这个函数

在(-9,-3)这一点的值就是-3

接下来我们为了判断一下

(9,3)这个驻点和(-9,-3)这个驻点

是不是极值点

我们需要用第三 第四 第五

三个关系式

比如说在x=9 y=3 z=3的时候

我们来看第三个关系式

一阶偏导数等于0

所以说用上y和z的值

我们就会把 在这点

z关于x的二阶偏导数求出来

这个时候 应该是等于1/6

如果我们来看第四个关系式

在一阶偏导数等于0的时候

我们把y的值z的值代进来

就会得到它的二阶混合偏导数

在这点的值

也就是我们的B

这时候求出来应该是-1/2

最后 我们看第五个关系式

驻点 一阶偏导数等于0

同时我们把y的值 z的值代进去

就会得到 在这一点

关于y的二阶偏导数的值

实际就是C的值 是5/3

那么有了这三点的值之后

请大家看一下 A乘C减B方它的符号

A乘C 也就是5/18

再减掉1/4

5/18当然是大于1/4的

所以这个应该是大于0的

同时我们看一下

A等于1/6当然是大于0的

这个表达式的值大于0

A大于0 所以说在(9,3)这一点

它取得的应该是极小值

换句话说 就是这一个

z在(9,3)这一点的值等于3

应该是这个函数的极小值

类似地 我们来考虑(-9,-3)这一点

还是用三四五三个等式

把y z它的值

以及一阶导数等于0的情况

放到第三个里面

我们会得出在这一点的关于x的

二阶偏导数的值应该是-1/6

我们把x y z的值

往第四个等式里面一代

考虑到一阶偏导数等于0

就会得到这一点B的值应该是等于1/2

相应地 我们考虑第五个等式

就会得到在这一点

关于y的二阶偏导数的值-5/3

那么 对于这三个数

大家来看一下它的AC减B方是什么

A乘C仍然是5/18

B方仍然是1/4

5/18减1/4当然是大于零的

但是 在这一点A是小于零的

所以说 我们得到的这个函数

在(-9,-3)这一点函数值-3

应该是它的一个极大值

这样我们求到了两个驻点

通过判定 正好知道这两个点里面

一个是极小 一个是极大

当然大家还会发现一个有趣的现象

实际上 函数值等于3时是极小

函数值等于-3时反而是极大

当然 这个在极值问题里面

是一个很正常的现象

因为极值是一个局部性质

我们并不能说因为

它是极大值 它是极小值

所以说极大就比极小来得大

不是的

极大也好极小也好

它只是在这点附近做比较

这时两个极值点之间没有任何关系