可化为齐次型方程的方程在线视频

好 前面我们介绍过齐次型方程

我们知道齐次型方程

是通过做变量替换

把这个齐次方程变成了

我们可以求解的变量分离方程

接下来我们再看另外几种方程

第一个我们先看一下这样的方程

也就是说这个未知函数的导数

只与这个表达式有关

这个时候仿照齐次型方程的处理方法

我们可以引进一个新的未知函数

也就是ux=ax+by+c

这时候我们知道

他们两边关于x求导

就会得到u关于x导数

等于a+b倍的y关于x导数

也就是y关于x导数应该等于

u‘减掉a除上b

我们把这个y’

以及这个表达式与u的关系

代到原来方程去

我们就会得到

原来的方程变成了

下面这个方程的形式

有(u‘-a)/b=f(u)

实际上这个方程

如果我们让x做自变量

u做未知函数时

这应该就是一个变量分离方程

也就是说对这个形式的微分方程

我们可以通过做这一个变量替换

把它变成一个变量分离的

然后进行求解

得到了ux的关系

自然就会得到y与x的关系

我想这是这一类方程的处理方法

接下来我们来看另外一类

这类方程我们就是说

他的形式是这样子的

f这里面是ax+by+c

除上a1x+b1y+c1

也就是说未知函数的导数

他是与这一个简单的有理分式有关

那这是我们处理的时候

这里边牵扯到6个系数

abc a1b1c1

那我们根据这6个系数的情况

可以给他分成不同的类型进行处理

也就是说第一种情况

我们看一下

就是这个系数c和c1都为0的时候

我们用c方+加上c1平方等0

来刻画这个条件

这时候这个方程就变成了

y关于x导数就等于f

这面是ax+by再除上a1x+b1y

我们上下同除x

他也就变成了f

这是a+by/x

这是a1+b1y/x

实际上写到这个形式

大家知道这个未知函数的导数

他就只与y和x的比值有关

这就是我们前面曾经讨论过的齐次型方程

那我们把它按齐次型方程的处理方法

就会得到他的解

这是第一种情况

第二种情况

如果我们这个

c1c2他不会同时为0

但是我们这个

a a1和b b1是成比例的

也就是说第二种情况

就是a/a1=b/b1

这时候我们可以这样来说

如果我就记或者是令

a1=ka 相应的b1=kb

这时候这个方程就变成了

y=f上面是ax+by+c

下面就变成了 把k提出来

也就是k(ax+by)+c1

这时候大家看一下

这个右端这个函数

就意味着这个未知函数的导数

他就只与ax+by

这个表达式的值有关

而这种情况

我们自然可以归到

我们刚讨论完的第一种情况

所以我们再做变量替换

就可以把它变成一个变量分离的

第三种情况

这个时候也就是说

c和c1不会同时为0

同时我这个a/a1也不等于b/b1

就是这个条件

这时候我们来考虑

在这个表达式里面的两个表达式

也就是说我考虑这个方程

ax+by+c=0

ax1+by1+c1=0

在我们考虑的

我们给定的这个条件下

这个方程组他是有唯一解的

我假设它的解是x0 y0

这是它的唯一解

这样 我可以做下面这个替换

也就是令我的x 小x

等于我一个新的变量大X+x0

y就等于一个新的变量大Y+y0

这时候我们把xy 他这个

和大X大Y的关系

往这个方程里面代

当然我们dydx可以表示成

Y的微分比上X的微分

而把xy xy代到这里面时

我们经过整理

我们会得到这个样子

也就是说这面就是

Y关于X的微分的商

这是这边应该就是f

是aX+bY 再加上这面是ax0+by0+c

这是分子 分母就变成了

a1X+b1Y 这是a1x0+b1y0+c1

这是分母

因为我们的x0和y0

是这个方程组的解

所以说这个括号里面的应该是等0

那么他就会变成f

上面就是aX+bY

再除上a1X+b1Y

而这个形式Y和X的关系

就转化了我们曾经考虑过的

当c和c1同时为0的情况

他当然对YX这两个变量来说

他满足的应该是一个齐次型方程

所以说对于这一类方程

以及这一类方程

我们都可以通过做变量替换的这种方法

转化成我们能够处理的方程

最后我们来看一个具体的例题

我们求解一下这个方程y’=2x-5y+3

再除上一个2x+4y-6

这个方程这自然就说

未知函数的导数

只与这个简单的有理分式有关

那按照我们的处理方法

我们看当然系数c和c1不会为0

同时我们注意一下

aa1和bb1也不成比例

这个时候我们做这个问题的时候

我们直接就考虑这个方程组

就是2x-5y+3=0

还一个是2x+4y-6=0

由这个方程组

我们当然可以解

解出来x0应该是等1的

y0也是等1的

也就是说这个方程组的唯一一组解

我们已经得到了

接下来我们就令x=X+1

然后Y=y+1

就是做这样的变量替换

这时候 我们原来这个方程组

这个方程就变成了

Y关于X的导数

等于这面应该就是

2X-5Y再除上2X+4Y

我们可以再写一下

他也就等于

上面是2减掉5倍的Y/X

底下是2+4Y/X

这就是一个新的

Y关于X的一个未知函数的

满足的齐次型方程

那我们再令

就是说U就是X的函数

他应该就等于Y/X

则Y关于X的导数应该等于

U+X乘上U关于X导数

也就是这个方程会变成

U+XU’应该=(2-5U)/(2+4U)

这应该就是一个变量分离方程

那我们整理一下这个方程

他可以得到这个形式

也就是把这个U减过来

通分 最后除过去

这应该是一个2+4U

底下应该是2-7U-4U^2

这边是dU dU

接下来关于x的这一项

x这一项我们给他除过去

应该就是等于X分之dX

在这个等式的两端

右边关于X求原函数

这是一个基本积分公式

左边上边是关于U的一次多项式

底下是二次多项式

这是有理函数

有理函数我们积分的时候

我们要先把他的分母看看

能不能做因式分解

也就是说在实数范围里面

分母能不能进一步分解

这个分母大家可以看出来

就是2-7U-4U^2

我们可以给他做这个分解

也就是等于

这面应该是一个1-4U

再乘上2+U

就是有了这个因式分解之后

那么这个等式的左端

我可以分解成两个最简分式之和

分解完之后

我把右 我把左端的系数都写成正的

左端也就是2/3倍的

这是一个U+1/2

再加上4/3倍的

这面是一个4U-1分之一

这时候左边

我把分解过程中的一个负号

放到左边来

应该就是负的x分之一

当然这面是对U去做积分

这面应该是对X做积分

这样我们两边积分的时候

左右都可用简单的基本积分公式

和凑微分法得出来

像第一项出来的应该是

2/3倍的ln(U+2)

然后第二项

这个4跟这个4正好凑微分

所以出来的是

加上1/3倍的ln(4U-1)

而这个右边我们写出来

他应该是等于ln1/x

因为那个 对数前面的负号

我们可以放到真数的指数上去

所以就是说X的-1次方写成1/X

后面本来应该加一个积分常数

我们为了处理起来方便

我把那个积分常数写成lnC的形式

也就是说根据对数的性质

我这个地方应该再写成一个C

这样大家简单整理一下

我们就会得到

关于U和X的这一个关系

这应该就是三次根下(U+2)^2

再乘上(4U-1)

这面应该就等于X除上C

最后大家把U和XY的关系带进去

这个等式就变成了XY之间的一个关系式

接下来我们再把

XY用x-1和y-1代回去

我们最后得到了

就是变量x和y之间的一个关系

我们最后就会得到

变量x y满足的关系

也就是y-2x-3平方

再乘上4y-x-3

这面是等于C

这个C表示的是任意常数

但这个任意常数

跟这一个C是不一样的

所以我们加一个下标以示区别

在这一个地方

应该得到的是

y+2x-3的平方

再乘上4y-x-3

最后等于c1

这样我们就得到了

变量xy他的函数关系

当然这是个隐函数关系

这是关于这两类方程

我们基本的处理想法

就是通过变量替换的方法

把它转化成我们可以求解的方程