当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第五章 常微分方程 > 第三节 高阶线性微分方程解的结构 > 线性微分方程解的性质
好 接下来我们介绍一下
所谓的高阶线性微分方程
高阶线性微分方程
我主要介绍这么几个方面的内容
首先介绍一下
高阶线性微分方程的解的性质
然后利用它解的性质
我们想办法来讨论它解的结构
当然 为了线性微分方程解的结构
我们会引进一个新的概念
这就是关于函数族的线性相关
和线性无关的问题
通过对线性微分方程的解的
唯一性 我们可以得到
判断线性方程解函数组
相关无关的方法
从而得到线性微分方程的解的结构
关于高阶线性微分方程
我们还会介绍一些特殊的
线性微分方程的求解方法
在这一节 我们主要介绍它
解的性质和解的结构
而在后面的章节里面
我们主要介绍特殊的线性微分方程
它的求解方法
我们先看一下
高阶线性微分方程解的性质
所谓n阶线性微分方程
我们指的是这个形式的方程
也就是an(x)乘上y的n阶导数
加上an-1(x)乘上y的n-1阶导数
一直到a1(x)乘上y的一阶导数
再加上a0(x)乘上y
等于φ(x)
所谓线性 我们反复强调过
指的是未知函数及其各阶导数
在方程里面
都是以一次方形式出现的
然后这个地方的系数
可以与自变量有关
当然右端项
也是可以与自变量有关的
这就是所谓的
n阶线性微分方程的一般形式
在这里面
如果φ(x)恒等于零的时候
我们也把它称为是
n阶线性齐次微分方程
如果右端项函数φ(x)
它不等于零的时候
我们自然就把这个方程称为
n阶线性非齐次微分方程
一般地 我们讨论线性微分方程
也就是这些ak(x)
我们称是叫做系数函数
φ(x)是右端项函数
我们一般要求
这些函数都是连续函数
回想一下我们在讨论方程概念是
我们曾经给出了一个结论
这个结论就是关于
一阶微分方程解的存在唯一性问题
当时我们有一个说明
说 对于线性微分方程来说
只要它的系数函数和右端项函数
都是连续函数 那么它的定解问题
总是存在而且唯一的
请大家记住这一条
因为在后面我们讨论解的结构时
我们就建立在 线性微分方程
它解的唯一性的基础上
好接下来我们就说它的性质
性质我们还是分
齐次方程和非齐次方程来讨论
对齐次方程我们来写出它解的性质
如果y1(x)和y2(x)
都是线性齐次微分方程的解
α β是两个任意的实数
那么α乘上y1(x)加上β乘上y2(x)
也是这个齐次方程的解 实际上
n阶线性齐次微分方程解的性质
与咱们前面讨论的
一阶线性齐次微分方程
的性质是完全一样的
也就是说 如果我把它所有解函数
构成一个集合的时候
那么在这个解函数集合里面
它任意做这样的线性运算
得到的函数仍然还在这个解集合里面
所以说 n阶线性齐次微分方程
它的解集合应该是一个线性空间
关于这个结论的证明
也与一阶线性齐次方程
解的叠加原理的证明是一样的
用的主要是一阶导、二阶导
一直到n阶导运算
它都具有的所谓的线性性质
我们简单些一下 也就是证明
我为了表述简单 我就引进一个记号
我就令我的L(y)
实际上L表示对y做某种运算
它应该是等于
an(x)y的n阶导一直加
加到a1(x)y的一阶导 加上a0(x)y
也就是用这个记号表示
对y做这一套运算
这时候所谓y1 y2 是齐次方程的解
指的就是说 这个结论是对的
因为L(y1)它是等于0的
L(y2)也等于0
所以对于任意的实数α β来说
我来看 对于αy1再加上βy2
做这个运算
因为在这个运算里面
牵扯到的只是导数这种运算
导数运算当然有线性性质
所以说这个就应该等于
αL(y1)再加上βL(y2)
因为这两个都等于0
它自然是等于0的
所以说齐次方程的任意两个解
做线性组合完了之后
仍然还是这个齐次方程的解
我想这是关于齐次方程解的性质
对于非齐次方程来说
我们也有类似的结果
写成一个定理就是说
如果y1(x) y2(x)是这个
n阶线性非齐次方程的解
这个方程
我就用这刚才引进记号来表示
也就是L(y)=φ(x)
是它的解 α β是实数
则αy1加上βy2是满足右端项是
α+β乘上φ(x)的这个非齐次方程
这是关于非齐次方程解的性质
通过这个定理 我们知道
所谓的n阶线性非齐次方程解的性质
与前面咱们讨论过的
一阶线性非齐次方程解
所谓的叠加原理 也是一样的
它的证明跟齐次方程的证明类似
我们借用这个L(y)这个运算
我们知道 因为L(y1)是等于φ(x)
L(y2)也是等于φ(x) 所以我们这个
L(αy1+βy2)它应该有线性运算性质
它应该等于
α倍的L(y1)再加上β倍的L(y2)
而L(y1)和L(y2)都是等于φ(x)的
所以说它自然就等于这个
α+β乘上φ(x)
这是它一般的叠加原理
当然 在这个定理里面
如果α取成1 β取成-1
我们自然就会得到
这个时候L(y1-y2)它就应该等于0
也就是说 这样就证明了
非齐次方程两个解的差
应该是它对应的齐次方程的解
这是关于我们要介绍的
高阶线性微分方程它的解的性质
对齐次方程来说
说明它的解集合 是个线性空间
而对于非齐次的来说
我们主要强调了
它的叠加原理和 它的解
和它对应的齐次方程解之间的关系
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
