当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第二章 多元函数微分学应用 > 第三节 多元函数的条件极值 > 多元函数在有界闭域上的最值
前面我们已经讨论了多元函数的极值问题
又讨论了多元函数的条件极值问题
接下来我们介绍一个简单情况
就是说多元函数在有界闭域上的最大最小值
这样的问题我们怎样处理
也就是说如果我们有一个多元函数
比如我们以二元函数为例
我们有一个有界闭域
我们来求这个二元函数
在这个有界闭域上的最大最小值
怎么求 实际上我们知道
如果多元函数 它的极值
或者是它的说最值在这个区域内部取到
那么一定就是极值
极值 那么他偏导数存在时
偏导数就应该等0
所以说在内部取到的最值
偏导数存在的前提下
偏导数一定是等0的
如果它的最值不在区域内部取到
而是在区域的边界上取到
那么我们就相当于让这个点在边界上跑时
我们来考虑它的最值问题
那应该就是这个多元函数
在边界方程这个约束下
它的条件极值问题
所以说我们一般求多元函数
在有界闭域上的最大最小值的时候
就是要把它内部里面可能的极值点找出来
再把它边界上可能的条件极值点找出来
在所有的这些点里面
找函数值最大或者是最小的就可以了
我们下面讨论一个简单的例题
比如说我们考虑的函数就是x^2-y^2+4
而我们考虑的区域D也就是xy
这个满足x^2+y^2/4<=1
现在我们来求这个函数
在这个有界闭域上的最大最小值
那我们的求解过程一般是这个样子的
首先我就是解偏f偏x
也就等于两倍x让他等0
偏f偏y 在这个题目里面-2y让他等0
这时候我就会得到一个点(0,0)
这个点正好也在这个有界闭域里面
这应该就是说
如果这个函数
在这个有界闭域内部取到最值的时候
他只可能是在这一点上取到
所以我们就把内部的找出来
接下来我就令L(x,y,λ)就等于
x^2-y^2+4再加上λ(x^2+y^2/4-1)
也就是我考虑这个有界闭域边界线上的时候
它的条件极值问题
接下来我就有 这个方程组
就是偏L偏x 也就等于2x
再加上一个2λx 让他等0
偏L偏y也就等于-2y
再加上1/2倍的λy 让他等于0
最后是偏L偏λ
也就是x^2+y^2/4-1 让他等于0
接下来我们来解这个方程组
当然这时候我们解出来
因为前两个基本上
相对于x来说就是线性的
或者说大家利用前两个做下比
把λ先找出来之后
最后再来求x 解出来我就会得到
他这四个可能的点
很简单 就是在这个有界闭域
也就是这个椭圆的四个顶点上
一个是x=0时y=2
或者是x=0时y=-2
再一个就是x=1时y=0
或者是x=-1时y=0
就会得到这四个点
这样我们就内部和边界上
把所有可能的取到最大最小值的点都找出来了
最后我们来算一下
f(0,0)等什么
f(0,0)往里面一代的时候
当然是等4的
然后f就是(0,2) f(0,2)
就是这是0 这个是2的平方
这个是等0
实际上f(0,-2)也是等0的
还有两个点是一个f(1,0)
也就是这个是1的平方这是0加4
这个应该是等5的
然后f(-1,0)也是等5的
算到这我们就可以说
所以这个二元函数
在这个有界闭域上的最大值是5最小值是0
如果问他在什么时候取到最大值
他在(1,0)或者是(-1,0)这两点都能取到最大值
而在(0,2)或者是(0,-2)这两点都可以取到最小值
这就是关于一般的多元函数
在有界闭域上求最值的方法
在这个地方有一个问题需要提醒大家
因为在一元函数时
我们曾经有这样的结论
对于闭区间a b上的连续函数来说
如果这个函数在这个区间内部
是有唯一的极值点的时候
那么这个极值点一定是它的最值点
也就是说如果这个函数在这个区间的内部
是有唯一的一个极小值点
那么这一点的函数值
应该就是这个函数在这个区间上的最小值
当然如果他有唯一的极值点
这个点能取到极大值的时候
那这个点的函数值
应该是这个函数在整个区间上的最大值
但是对多元函数来说
我们能不能有这样的结论
比如以二元函数为例
也就是若f(x,y)在有界闭域D上
D中 有唯一极值点
那么 则此点是这个函数f(x,y)
在这个区域D上的最值点
也就是说这个时候
对于多元函数来说这个结论有没有
我们的答案是否定的
也就是说对于多元函数来说
即使他在一个有界闭域内部
只有唯一的极值点
这个极值点也不见得
仍然是它的最值点
所以说在这个地方
我们是不见得能得到的
最后为了说明这件事情
请大家课下做这个题目
也就是说如果我的函数f(x,y)
是等于3(x^2+y^2)-x^3
而我们的区域D是等于(x,y) (x^2+y^2)<=16
这就是一个简单的二元函数
和一个简单的平面上的有界闭域
接下来我们做这样一件事情
就是大家看一看
原点是不是这个函数
f在D内的唯一极值点
是不是 第二个问题
请大家求一求
这个函数f(x,y)在D上的最值
求出来之后你看看
这个唯一极值点
实际是他的极小值
就是原点的函数值
是不是这个函数
在这个有界闭域上的最小值
实际上这个函数
在原点他是极小值点
而且是唯一的极值点
它的极小值是0
而这个函数
在这个有界闭域上的最小值显然是负的
有了这个例子
大家就知道
我们一元函数中的某些结论
是不能直接推广到多元函数的
这也就是我们在一开始强调的
一元函数和多元函数
当然有类似的地方
但更有本质上的不同
在学习的过程中
一定要注意这种不同
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
