二重极限的定义在线视频

下面我们来介绍一下

多元函数的极限问题

我们在一元函数里面介绍极限时

我们知道 它强调的主要是

当自变量x越来越靠近某个点时

它对应的函数值是不是可以

越来越接近一个固定的常数

而且可以充分接近

那么对多元函数来说

我们也有这样的问题

那我们还是以二元函数为例

也就是对二元函数来说

所谓我们考虑它的极限问题

在几何上主要就是看这个东西

也就是我在平面上有一个固定的点P0

我就问当点P趋向于P0时

它对应的函数值f P是不是

越来越趋向于一个固定的值A

在这个地方 我们首先要搞清楚

什么叫点P越来越趋向于这个P0

我们是用P与P0这两点的距离趋向于零

来刻画这个过程

也就是刻画P趋向P0的过程

那当然 它对应的函数值

越来越接近一个常数A

自然用的是这个函数值与A这两个数

差的绝对值趋向于零来刻画的

我们就说与一元函数的极限定义一样

我们先给出它的极限定义

定义 设f x y在平面上的一个点集D上有定义

P0坐标用x0 y0表示

是这个点集D的一个聚点 A是一个确定的常数

如果对任意的ε大于零

我总能找到一个大于零的实数δ

当这个点P属于D而且

点P到P0的距离小于δ大于零时

我总有 函数在P这点的值与A

这个数的差的绝对值小于ε成立

或者说 也就是f x y减A的绝对值小于ε成立

我们就称这个二元函数f x y

在P趋向于P0时的极限为A

我们记作limit P趋向P0时 f P的极限是A

或者我们表示成limit x y这个点

趋向于x0 y0这个点时 f x y的极限是A

或者记作limit x趋向x0 y趋向y0时

函数f x y的极限是A

直观地说 也就是在平面上

当这个点越来越靠近一个指定点时

它对应的函数值是可以

越来越靠近一个固定的常数

而且可以充分靠近 这时候

我们就把这个常数称为

这个函数在这点的极限值

对二元函数来说 我们这个极限

有时候也称为是它的二重极限

所以说 说二元函数在一点的极限

或者说 二元函数在一点的二重极限

指的就是这个定义里面给出来的这个常数A

在这个定义里面 请大家特别要关注

第一个 就是说什么样的点

可以考虑函数的极限

应该是 函数定义域的聚点

也就是在定义里面

我们强调的这个P0是这个D的聚点

这是需要说的第一点

第二点 在这个定义里面

我们用到了所谓的点P趋向于P0

那什么叫点P趋向于P0

我们用的是P与P0的距离是趋向于零

来刻画的这个极限过程

那在这里面 距离趋向于零

它当然可以有不同的这个方式

来满足这个距离趋向零

譬如说 我如果沿着直线路径

这自然是一种方式

我如果沿着是曲线路径

这自然还是一种方式

那么在这个定义里面 我们强调的是

无论你什么方式过来

它都应该是越来越接近一个固定的常数

实际上 作为二元函数来说

它的二重极限 从定义上讲

跟一元函数的极限没有任何区别

它的区别就是说 在一元函数里面

因为点都是在坐标轴上

那么这个点趋向一个固定点的方式

我是可以数得出来的

就是距离趋向零 或者是从左边距离趋向零

或者是从右边趋向零

所以一般一元函数在一点的极限

我们就有三种刻画方式

极限 左极限 和右极限

而对于二元函数来说 它在一点的极限

我们名义上只有一种 就是P趋向于P0

但实际上从趋向方式上来讲

它涵盖了所有的路径

所以这是请大家需要注意的

譬如说我们为了说明这个东西

我们可以举个例子 看一个简单的函数

f x y然后它就等于x乘y

底下是x方加上y方

对这个函数 我们假设来考虑

就是x y这个点趋向于原点的时候

我们问它的极限有没有

它的极限有没有也就是看这个东西

x趋向于零 y趋向于零

x y除上x方加y方

如果我们选取 这个点是沿着

经过原点的射线趋向于原点的时候

那应该就是说 我如果把y与x的关系

限定在这个范围里面

其中让x趋向于零的时候

这个地方就变成了k倍的x方

底下就是1加k方x方

这个最后就趋向于k除上1加k方

我想有了这个结论大家就知道

x y这个点 如果它沿着直线往原点跑

那么在不同的直线上

它是趋向于不同的值的

它自然就不满足 说P趋向P0时

它趋向一个固定的常数

所以它是没有极限的

譬如说我们再看这个例子

也就是 我们考虑函数f x y等于

x方加y方除上x方加y

那么对这个函数来说

如果我们还像上面这个函数这样

我只考虑x y这个点沿着直线趋向于原点

也就是我考虑这个极限 让x趋向于零

同时y是等于k倍x的

那么 它就变成了这个样子

x方加y方除上x方加y 那么就等于

这是x趋向于零 然后是一个y等于k倍的x

这个时候上面就是1加上k方x方

底下是个x方加上x

因为它x是趋向于零的所以说

我们上面 上下同时除x

分母的极限就是一 分子的极限就是零

也就是说这个时候 沿着直线趋向于原点时

它都趋向于零 那么有了这个结论之后

我们能不能就说

这个函数在原点的极限 它就是零

实际上 按照这个定义 我们知道

这样下结论还有点为时过早

为什么 譬如说我们如果取

y就等于什么 就等于负的x方

譬如我加上一个三次方 加上一个三次方

这个 这应该是经过原点的一条曲线

但是如果这个点

沿着这条曲线往原点跑的时候

那我们这个函数就变成了这个样子

就是上面是x方加上y方

也就是负x方加上x的三次方再做平方

底下这个地方 加的时候是x方加y

x方和负x方消掉 就是x三次方

那这样大家看一下

上面这个分子 出来应该就是一个

最低次数是二次的这么一个多项式

而下面这是一个三次的

那我们x是趋向于零的

我们上下如果同除x平方 分子是趋向1的

那么分母是趋向零的

也就是说 这个时候 我这个表达式

在x趋向于零时它应该是一个无穷大量

也就是说 我尽管也保证了x y这个点

它是到原点的距离趋向于零

但因为它沿着这条路径的时候

它是趋向于无穷大量

这样我们就知道 这个函数

它在原点 它的二重极限 实际是不存在的

实际有时候 我们经常问一个函数在一点

它的二重极限存在不存在

实际上也就是问

它是不是沿着所有的路径 趋向于这个点时

它的函数值都趋向于一个固定的值

我想这是在定义里面 我们这一个趋向方式

确定的 它应该涵盖着所有的路径

然后在一元函数时

我们曾经给出了 在一个极限过程下

一个函数是无穷小 或者是无穷大的概念

在多元函数 我们照样借用这个名词

譬如说一个二元函数

什么叫无穷小量 什么叫无穷大量

那我们可以给出一个简单的定义

这个定义是这样子的

我们假设函数f x y在平面点集D上有定义

P0是D的一个聚点 如果函数f x y

在P0这点的极限存在而且等于零

则称f x y在P0处 或者说在P趋向于P0时

是一个无穷小量 简称为无穷小

如果一个函数 它的倒数在P0处是无穷小量

那么我们就说这个函数本身

在P0处是无穷大量 简称为无穷大

实际上在多元函数里面

无穷小和无穷大的概念

与一元函数那个无穷小

与无穷大的定义是一样的

只是说 我这时候的极限过程

谈的应该是 二元函数就是平面上的点

趋向于一个固定点

而三元函数 谈的自然是空间中的点

趋向于一个固定点时

它的极限是不是零 如果是 那就是无穷小

如果它倒数的极限是零

那它本身就是无穷大量

在一元函数里面 我们谈自变量的极限过程

除了趋向于一个确定点的情况

还有x趋向无穷的情况

在二元函数我们也有这种情况

也就是说 我们什么叫

x y这个点趋向于无穷 也就是趋向于无穷

那我们一般是这样来刻画的

也就是说 我们让

x趋向于无穷 y趋向于无穷

就是这个东西 实际上它

这个极限过程 指的是这个点

也就是x y这个点 它们到原点的距离

应该是趋向于正无穷

那要是从 这个定义来讲的时候

我怎么样来严格地表述这个定义

我们设函数f x y在整张平面上有定义

A是一个常数 如果对任意的ε大于零

我总存在一个大于零的实数

当点x y到原点的距离大于N时

我们f x y减A的绝对值小于ε

那么我们就说函数f x y

在点趋向无穷时的极限是A

我们记作limit x趋向无穷 y趋向无穷时

函数f x y的极限等于A