当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第三章重积分 > 第三节 极坐标系及一般坐标系 > 二重积分的一般坐标变换公式
好 我们现在来讨论坐标变换
对面积元素的影响
有这么一个坐标变换
其中呢我们已经知道
它要构成一个坐标变换
必须是 不等于零的
我们来看看我们在uv平面上
如果我找一个很简单的一个图形
什么图形呢
是一个长方形图形
这一点呢 是u0
这一点呢 是u0加上Δu
这一点呢 是v0
这一点呢 是v0加上Δv
那么这是一个uv平面上的
非常简单的长方形
那么经过这个坐标变换的逆变换
它可以变成xy平面上的这么一个图形
如果我们把这点叫做p0点
这点叫做p1点
这点叫做p2点
这点叫做p3点
那么经过这个坐标变换的逆变换
返回去之后
这点叫做p0点的星
这点叫做p1点的星
这点叫做p2点的星
这点叫做p3点的星
那我们现在已经知道
p0点的坐标可以知道是(u0,v0)
p1点的坐标呢 我们知道是(u0+Δu,v0)
p2点的坐标呢 是(u0,v0+Δv)
p3点的坐标呢 是(u0+Δu,v0+Δv)
这是在uv平面上的p0 p1 p2 p3
这四个点的 它的坐标
那么在xy平面上
那么这四个点的坐标应该是
p0星号 x在(u0,v0)点的取值
y在(u0,v0)点的取值
p1星号 x在(u0+Δu,v0)点的取值
y在(u0+Δu,v0)点的取值
p2星号 是x在(u0,v0+Δv)
y呢是在(u0,v0+Δv)
当然p3星号也可以把它写出来
因为后面用不着了
所以呢我们就不写了
那么我们来看看
由p0 p1 p2 p3星号
这四个点所构成的
这个曲边四边形的面积
如果说ΔuΔv取的很小的时候
实际上这个曲边四边形的面积
和我们这两个向量所张成的
平行四边形的面积是差不多的
差的实际上是一个高阶无穷小 是差不多的
所以呢我们用这么一个
两个向量所张成的平行四边形的面积
来近似的代替这个曲边四边形的面积
我们来看看平行四边形的面积
是哪两个向量呢
第一个向量p0星号p1星号
这个向量呢实际上就等于
x(u0+Δu,v0)减去x(u0,v0)
第二个分量呢是
y(u0+Δu,v0)减去y(u0,v0)
这是第一个向量
第二个向量呢 就是
p0星号p2星号构成的一个向量
我们可以把它两个向量差减减 就是
x(u0,v0+Δv)减去x(u0,v0)
这是第一分量
第二分量是
y(u0,v0+Δv)减去y(u0,v0)
这是两个向量
那么我们来看看
p0星p1星这个向量
你看 第一分量关于x的函数
那么这是一个二元函数
其中第一个变量是有变化的
第二个变量是没有变化的
所以根据微分中值定理
它近似的等于什么东西呢
等于x对u的偏导数乘上Δu
同样 对y来讲
就是近似的等于y的u的偏导数乘上Δu
在哪一点呢
在(u0,v0)这点取值
偏导数在(u0,v0)取值
那么对于p0星p2星这么一个向量
那么你可以发现
所变化的是不是只有v变化
u是没有变化的
那么根据微分中值定理
它约等于偏x偏vΔv
偏y偏vΔv
在(u0,v0)点取值
所以我们可以知道
那么由这两个向量
所张成的平行四边形的面积
近似的等于什么呢
我们张成的这么一个平行四边形的面积
S这是一个平行四边形的面积
就等于p0星号p1星号这个向量
和p0星号p2星号这个向量的叉积的模
这是我们讲过的
那么也就等于
下面这个东西
x对u的偏导数 x对v的偏导数
y对u的偏导数 y对v的偏导数
的行列式的绝对值乘上ΔuΔv
这是面积
所以我们可以知道
由于自变量 由于这么一个坐标变换
这个坐标变换
它们两个面积之间的变换就是一个
这个面积当然dudv ΔuΔv
变成了什么东西呢
变成了S平行四边形的面积
所以呢 我们可以知道
dxy平面上的面积元素
就等于偏x偏u偏x偏v
偏y偏u偏y偏v行列式的绝对值dσuv
因为我们知道dσuv就是dudv啊 ΔuΔv
那么这个是直角坐标系下的面积
这个呢 这是直角坐标系下的面积
也就是dσxy
这个东西不就是uv平面上的面积
两个之间的比例因子
就是我们这个东西
换句话说呢
它就等于 换一种记号
x y u v的Jacobi矩阵的行列式的绝对值
所以这就是它们面积之间的
两个面积元素之间的比例
那对于一个二重积分来讲
在Dxy这个区域上的
f(x,y)dxdy做了这么一个坐标变换之后
它就变成了在uv平面上的
另外一个Duv这个区域上的复合函数
x是u v的函数 y是u v的函数
然后dudv中间差一个
面积之间的转换关系 绝对值
所以 现在我们就可以真正知道
一个坐标变换对于二重积分来讲
有几个东西发生改变了
第一件事情 被积函数发生改变了
你看f(x,y)变成了复合函数
第二件事情 积分区域也发生改变了
刚才我们讲 极坐标系是把一个圆
就变成了长方形区域
那么最后 最最重要的事情
那么面积的元素是不是也会发生改变
而中间这个就是它们的比例因子
要注意一下的事情
这两杠指的是绝对值
行列式的绝对值
因为这个行列式可正可负
加上绝对值 才真正是一个面积的比例
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
