当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第三章重积分 > 第二节 二重积分的计算 > 二重积分的计算：直角坐标系（3）
好我们再来看这么一道例题
f呢 f(x)呢是一个连续函数
要求证 从0到a dx作为一个二次积分
从0到x f(y) dy 等于从0到a
a减x f(x) dx
要证明这么一个二次积分
就等于这么一个定积分
f呢是一个连续函数
我们来看看 证明
有两种证明方法
第一种呢是用到我们现在学过的
二重积分的东西
这是一个二次积分
我们把这个二次积分呢
改写成为二重积分
然后再交换积分顺序
所以二次积分的交换顺序是这么一个过程
把一个二次积分变成一个二重积分
然后把这个二重积分呢
换一种投影方式
再变成另外一种次序的二次积分
这是二次积分交换次序的这么一个过程
我们来看看 这个二次积分
我们要把这个二次积分 a呢是大于零
我们不妨假设a大于零
dx 从0到x的f(y) dy
我们要把它写成一个D区域上的
被积函数就是f(y)了
把它要写成一个D区域上的二重积分
那么这个边界 D的边界呢
实际上是由这么一些曲线构成的
对x来讲 x等于0 x等于a
x等于0 x等于a
对y来讲 y等于0 y等于x
一定是由这么几条曲线所围成的
那么围成的曲线到底是哪个区域呢
我们画一下图
x等于零 x等于零 x等于a 这个x等于a
y等于0 就是x轴
y等于x呢是一条 这条线
那么这条线所围成的那个区域呢
正好就是这么一个区域
这就是那个区域
我们不妨可以试一下
这个D区域在x轴上的投影就是0到a
当x取0到a中随便一点的时候
y朝上一走
这个起始点正好是y等于0 小的
出来的地方是不是就是y等于x
所以呢 这个D区域上的
f(y)的这么一个二重积分
恰好是这个二次积分
我们来看看这个二重积分
我们要交换积分次序
那么这个二重积分交换积分次序的话
我们来看一下 这个积分区域啊
从y走上 是等于从0到a
所以这个二重积分 D区域上的f(y)
dx dy如果要换做另外一种顺序的话
那么就投影 先在y轴上做投影
就是从0到a 后做的那个积分出来了
然后我0到a中间我随便找一个点
我看看这个区域x的方向应该
这是不是就是进去的地方
这个是不是就是出来的地方
在哪个地方进去呢 在这条直线上斜线上
这条直线叫y等于x 或者说就是x等于y0
所以这条线上进去的
出来的那条线是不是就是x等于a
那么这个积分我们知道
二次积分我们先做一次 再做一次
这个积分里面我们可以发现
里面的左边那次积分先做的那次积分里头
我们是把y是看成常数
把x看成积分变量做的积分
所有跟x有关系的都是变量
跟y有关系的都是常数
所以f(y)实际上就是一个常数
既然就是一个常数 那么这个积分
实际上就是等于 从0到a dy
fy乘上x什么范围呢
是在x等于y到x等于a
f(y)乘上x 对x的偏导数就是f(y)
所以呢它就是
我们先做那个积分的一个原函数
所以呢 下限上限朝里面一代
我们就可以知道 就等于从0到a的积分
我们把fa朝里面代
这是a乘上f(y)减去y乘上f(y)
这个函数的dy
我们同样还知道一件事情
就是定积分和积分变量的
表达的符号是没有关系的
所以就等于0到a
a减去x乘上f(x) dx
那么这样我们就证明完了
实际上来讲 我们还有一种证明方法
那证法2呢 我们来看一下
我把左边那个函数呢
我把a呢叫做是变量
因为我们知道 26个字母
没有哪个字母一定规定它就是变量
没有哪个字母一定规定是常数
它本身都是平等的
我把a叫做变量 当然也是可以的
所以呢我把a叫做一个变量
把a叫做一个变量 我把它写成是从0到a
dx 然后呢从0到x f(y) dy
左边那个函数
同样我把右边那个函数呢叫做G函数
从0到a a减x乘上f(x) dx
我们第一件事情已经知道了
a取零的时候 F0 当然就是0了
G0呢很显然也是0 就是G0 它就等于0
我们要证明Fa恒等于Ga
我们现在给的条件
就是f是一个连续函数
连续函数的变上限积分
实际上是一个可导函数
但连续肯定满足的
这个连续函数再做一次变上限积分
应该是可导函数
所以大f这个函数一定是可导函数
同样大g这个函数 f是连续函数
a减x连续函数
变上限积分一定是可导的
所以呢大g这个函数也是一个可导的函数
既然可导的函数 我两边求导数
我看看 F对a的导数等于什么东西呢
F对a的导数 我们就等于 F函数啊
实际上就是这是一个积分 做完积分之后
它就是hx 是从x的这么一个函数
对a的话它是一个变上限积分
既然是一个变上限积分
所以f对a的导数就等于h在a的取值
所以呢 就是等于从0到a f(y) dy
我们再来看看G对a的导数
就等于对a的导数
我把G这个函数写成两块儿
第一块呢 就是a乘上f(y)
所以呢 就等于a从0到a f(x) dx
再减去 x从0到a f(x) dx
所以G这个函数 我们可以写成两块儿
对a的导数的话 当然就分开求导
第一件事情
第一个导数呢就是从0到a
f(x) dx 再加上前导后不导
再加上 另外一个前面那个不导
是不后面那个就求导数
后面那个是纯粹的变上限积分
所以呢这就是fa
这一个 两个式子实际上是
相对于这第一个函数a的导数
再减去第二个函数就纯粹一个变上限积分
就a乘上fa 两个消掉
那么你会发现
从这两个式子里面你会发现
F对a的导数恒等于G对a的导数
你看 这又用到了
定积分关于积分变量的关系
用什么 用x来表示也好 用y来表示也好
它算出来最后都是一样的
再加上我们前面讲过的
F在0点的值等于G在0点的值
这两个条件一用
一定可以得到Fa就恒等于Ga
那么左边恒等于右边
当然这个我们就已经证完了
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
