当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第一章 多元函数微分学 > 第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例） > 二元函数有Peano型余项的Taylor公式-2
好 前面我们对二元函数
具有二阶连续偏导数时
怎么样在一点附近
用一个二次多项式来近似它
借用一元函数的Taylor公式
和复合函数的求导法则
给出了一个简短的证明
接下来 我们直接把这个结论
推广到一般的情况
这就是 我们要介绍的二元函数的
n阶带有Peano型余项它的Taylor公式
我们直接把我们得到的结果写成一个定理
我们设二元函数f x y
在a b这点处具有n阶连续偏导数
那么 当a加delta x和b加delta y这个点
在a b这点附近时 我们就有
函数在a加delta x
和b加delta y这点的函数值
可以用一个delta x delta y的
n次多项式来近似它
也就是 等于这个n次多项式的值
它的误差 或者是余项
应该是这两点距离的n次方的高阶无穷小
在这里面 我们出现的这个n次多项式
就称为是这个函数在a b这一点的
n次Taylor多项式
而我们出现的这个余项
也就是小o ρ的n次方这个表达式
我们就称为是Peano型余项
那么 我们得到的这个等式
就是所谓的二元函数在a b这点的
n阶带有Peano型余项的Taylor公式
而我们这个等式就称为是
二元函数在a b这点的n阶
带有Peano余项的Taylor公式
在这个定理里面 我们说在点a b附近
指的是当这两个点它的距离充分小时
所以说这个 带有Peano型余项的
n阶Taylor公式
应该是一个局部型的结果
也就是说 如果我们用它的Taylor多项式
作为这个函数值的近似值的时候
必须在这一点附近
我们才能保证它俩的差是比较小的
从这个余项形式 我们也可以看出来
因为它是用高阶无穷小来刻画的
高阶无穷小指的是 当ρ趋向于零时
这个余项是比ρ的n次方更小的
但是如果ρ比较大时
它与这个ρ的n次方是什么关系
我们并不知道
所以说 这应该是一个局部型结果
好 有了这个结论之后
我们来看一个简单的例题
我们假设函数f x y就等于
1加x加上y加上x平方加上xy
加y方再加上x乘y的平方
我们就求这个函数f x y
在原点零零处的
二阶带有Peano型余项的Taylor公式
那根据Taylor公式的定义 我们知道
我们先要求这个函数在原点的值
实际也就是它的常数项1
我们还要求这个函数
在原点它的一阶导数值
关于x的一阶导数 这是1
这个是两倍x在原点等于零
所以到现在为止是1
这是y在原点还是零
在这个地方还是零
所以它的一阶导数也等于1
而它关于y的在原点的一阶导数
我们也可以求出来
这一项关于y求导是1
其它的关于y求导
在原点的值应该都等于零
所以这个也是1
接下来我们还应该求
它在原点的三个二阶偏导数
就是偏方f 偏x方 在原点的值
那我们看一下
这一个 关于x求二阶导数是零
这个关于x求导是零
这个关于x求二阶导数是2
这个关于x求二阶导是零 后面的都是零
所以说 这个二阶导数值是2
然后我们再来看它在这一点
关于x和y的二阶混合偏导数的值
我们看一下先关于x求导 这是1
这是两倍x 这是y 这个是两倍的y
大家注意 这个关于x求导是1
再关于y求导是零
这个关于x求导是两倍x
关于y再求导还是零
这有一项关于x求导是y 再关于y求导是1
这里有一个1
这一项 关于x求导是一个y的平方
关于y再求导是两倍y
但是它是在原点取值
所以说 这个应该是等于1的
最后一个二阶偏导数
就是关于y的二阶偏导数在这点的值
那 前面这四项关于y求二阶导数都是零
第五项 关于y求二阶导数也是零
第六项 关于y求二阶导数是2
第七项 关于y求二阶导数是两倍x
但考虑到是在原点取值
所以最后这个结果是等于2
这样子的时候
我们看一下我们的结论是什么
那么在原点附近
那f x y就等于在原点的值是1
加上它的一阶导数值乘上x减零实际就是x
再加上它关于y的一阶导数值
乘上y减零就是y
再加上二分之一倍的它的二阶偏导数
关于x的二阶偏导数值乘上x减零的平方
实际上也就是一个两倍的x平方
再加上一个两倍的这个混合偏导数值
乘上x减零 再乘y减零
实际上也就是两倍的x再乘上y
再加上 它关于y的二阶混合偏导数值
乘上y减零的平方 也就是两倍的y方
后面应该加上余项
也就是小o距离的平方
这个时候就是x方加y方
那我们看一下 实际上
把这个二分之一乘进去
大家会发现 我这个函数
在原点的二次Taylor多项式 不是别的
就是原来我这个函数里面的二次项部分
实际上 这个问题大家在做之前
就应该知道它的答案是什么
因为所谓Taylor公式
它主要就是在一点附近
用一个多项式来近似这个函数
如果这个函数本身它就是多项式函数
说我这个三次多项式函数
用一个二次多项式来近似它
应该用谁来近似 当然就是
这个多项式函数的二次多项式部分
所以说 这个结果 应该是显然的
这是关于 二元函数在一点
带有Peano型余项Taylor公式的结论
我想 对我们来说 在处理多元函数问题时
至少应该能够写出简单函数在指定点的
已知次数 譬如说
二次 三次 的Taylor多项式
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
