二重积分的计算：直角坐标系（1）在线视频

好我们现在正式开始来计算二重积分

首先我们 第一种呢

是在直角坐标系下二重积分的计算

假如说 我们这个D区域

可以表示成这么一种情况

y呢大于等于y1 x 小于等于y2 x

x呢是大于等于a 小于等于b

那这个区域是什么样子呢

我们画一下大概的形状

这是x 这是y

x呢是从a 这一点呢是a

到b 这一点呢是b

有两条曲线

这条曲线呢 是y就等于y2 x

这条曲线呢 是y等于y1 x

这个区域呢 就是D区域

也就是D是这种形状的一种区域

f呢当然我们还是假设是一个连续函数

那么我们在D区域中的

f(x,y)这么一个二重积分

可以写成这么一种情况

从a到b dx从y1 x到y2 x f(x,y) dy

我们来解释一下这个符号的含义

我们把这个积分呢叫做一个二次积分

实际上在这个积分里面呢

我们已经省掉了一个符号

就是一个括弧

通常我们是不会去写的

什么意思呢 就是f(x,y)

这时候我把y看成是一个自变量

把x呢看成参变量

对这个积分来讲是一个定的

那么这就实现了来讲

把x定下来之后呢

就是一个关于y的一元函数

对y呢 做一次积分 定积分

做完积分把上限下限朝里面一代的话

这时候 做完一次积分之后

它就构成的是一个x的函数

这个x函数呢再对x从a到b做一次定积分

所以你可以发现

实际上我们是做了两次定积分

那么我们把这个呢叫做二次积分

一旦我们把一个二重积分

化成二次积分之后

我们后面有例子会算到

我们可以知道

二次积分我们都是会的

无非就是两次定积分

所以我们把一个新的

我们不知道怎么算的东西

变成了一个我们知道怎么算的东西

那么这样的话就是我们的目的

如果说这个D区域是另外一种形状的区域

x呢大于等于x1 y

小于等于x2 y

其中呢 y呢 是大于等于c 小于等于d

这个区域是什么样子的呢

我们再来画一下图

这个区域大概是这种形状

x y 这个呢是一条线 这个呢是一条线

这个是d y这是y等于c

这有一条曲线 这有一条曲线

这条曲线呢它的方程是x等于x2 y

y的函数

这条曲线的方程呢是x等于x1 y

相当于这么一个区域

相当于这么一个区域

那么这时候 我们那个

在D区域上的二元函数的二重积分呢

仍然是可以化成一个二次积分

这时候的二次积分呢 那么是c到d上的积分

dy从x1 y到x2 y f(x,y) dx

这也是一个二次积分

但是在这个二次积分里面呢

我们可以发现 先是对x这个变量做一次积分

做完积分之后 这是一个定积分

再对y这个再做一个定积分

又变成了一个二次积分

所以呢如果说我们这个

平面区域稍微简单一点

简单到能够写成这两种形状的区域的话

那么我们这个二重积分

可以转化成为一个二次积分的计算

问题就来了

如果说这个积分区域复杂一点

不是这两块 两种区域怎么办呢

譬如说我们可以画一下图

这个区域很复杂很复杂 复杂到这种程度

这么一个区域上的二重积分

那这时候你会发现 这个区域

既不是这种第一类的区域

也不是第二类的区域

那怎么办呢 其实我们还有一个办法

我们知道

二重积分关于积分区域是具有可加性的

我们把这个区域呢做一些分割

怎么分割呢

我分成这一块 再分成这一块

你可以分的 这个我把它D1

这个区域叫D2 这个区域叫D3

这个区域叫作D4 这个区域叫D5

这么一分的话你会发现

D1 D2 D3 D4 D5实际上都是

第一类型的这个区域

我们把这个比较复杂的区域上的二重积分

通过区域的分割 可以转化成一些

比较简单区域上的二重积分的和

而每一个简单区域上的二重积分呢

都可以转化成为二次积分来算

这是一种分割 其实我们还可以其它分割

譬如说我这么一分割的话

水平地一做分割的话

分成一 二 三个区域

这三个区域实际上是

都是属于第二类型的区域

所以不同的分割

可以有不同的积分的顺序

那么这就引出了另外一类问题

后面我们会讲到的

就是二重积分变成二次积分之后

关于积分顺序的交换的问题

所以呢 我们二重积分

在直角坐标系下的计算

通常是通过对区域的划分

分成一些简单区域

然后呢用二次积分来计算

好 我们来看这么一道例题

有一个D区域 我们要把这么一个二重积分

在D区域上

我们假设f(x,y)是一个连续函数

化成一个二次积分

我们首先第一件事情要做的

我们把D区域稍微先画一下

什么样的区域 D区域

这个D区域呢 实际上是这么一个区域

这个区域由几条曲线构成

第一条曲线是y等于零 是x轴

第二条曲线呢 是x加y等于1

就是这一条线 这个是1 这个是1

第三条线呢 就是y减x等于1

实际上就是这么一条线 这是负1

所以呢 D区域就是这么一个三角形区域

那么 我们来看看这个D区域

我们怎么样去化成二次积分

我们来看看 我们把这个D区域呢

第一种办法 这个D区域可以写成这种形式

D就等于x y

y呢 是大于等于零

从零到1 小于等于1

x呢 是大于等于左边那条线

左边那条线呢 是y减x等于1

右边那条线呢 是x加上y等于1

所以这个x 你看 我在0 1之间随便找一个y

我们找一条水平的线

起始点是左边那条线

终止点就是右边那条线

所以x的范围是从左边到右边

左边是什么东西呢

左边就是y减1大于等于x

右边这条线呢x等于1减y

小于等于1减y

所以这个D区域的第一种表示形式

既然有这种表示形式

那么根据我们刚才讲过的

二重积分化成二次积分的办法

那么 y呢是从零到1 dy

x的范围呢 是从y减1到1减y

f(x,y) dx

这是一个二重积分 转化成为

先对x做一次积分

再对y做一次积分的二次积分

同样我们这个D区域

我们还可以再给它改写一下

x y 我想

先对y作积分 再对x作积分

我们来看看 x的范围呢

实际上从负1到正1

x的范围从负1到正1

在负1到正1里面我随便找一个

x点朝上一走

从零开始是不是就到这条线出去

但是这个时候就有分成两块了

为什么呢 左边那一块

是从零开始到左边那条直线

右边那一块呢

是从零开始到右边那条直线

左右两个是写不到一起去的

所以我就要把这个D上的积分就写成D左边那个积分

f(x,y) dx dy

再加上D右边那个区域的积分

f(x,y) dx dy

那么左边那个区域呢 你可以发现

D左边那个区域啊 x呢正好是

大于等于负1小于等于0

从负1到零

y呢是从零开始 到左边那条直线出去

y是大于等于零 小于等于1加上x

这是左边那个区域

所以呢 左边那个区域 x呢是从负1到零

dx 这是后做的那个积分

y呢是从0到1加x f(x,y) dy

这是一半的积分 左边那个区域的积分

还要加上右边那个区域

D右边那个区域的积分 也可以写成x y

这时候x是大于等于零小于等于一

y呢 是从零开始到右边那条直线出来

y呢是大于等于零小于等于1减去x

那么再加上 从零到1的dx

y呢是从零到1减x f(x,y) dy

所以呢

我们可以发现 不同的分割方式

决定了二次积分的不同的顺序

那么 有可能是用一个二次积分

就可以来表示的

那么另外一种投影方式的话

就必须用两个二次积分才能表示

但是无论如何 这两个积分值一定是相等的

一定是相等的

既然是相等的 那么我们可以发现

我们就做到我们想做的事情

就是二次积分 我们交换二次积分的顺序

前面那个二次积分

是先对x作了积分再对y作积分

右边那个 下面那个二次积分呢

是先对y作积分 再对x作积分

那么这个问题就是一个

二次积分的交换顺序的问题