当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第三章重积分 > 第五节 第一类曲线积分 > 第一类曲线积分的计算例题
好我们来做这么几道例题
被积函数是y L这个线段呢
是这么一个线段
是x平方加上y平方等于R平方
在x大于等于零
y大于等于零那一部分
也就是说 是四分之一的圆周
我们来看看 这是一个
平面曲线上的第一类曲线积分
我们知道 L这条线
可以有一个参数方程
x呢是等于R cos t
y呢就等于R sin t
其中t的选择范围是从0到二分之pi
因为这是四分之一的圆弧
那么根据公式我们可以知道
这时候ydL 这么一个第一类曲线积分
可以写成从零到二分之pi的积分
被积函数y呢 等于Rsint
dL呢 我们可以知道
是x导数的平方加y导数的平方
等于R平方 x导数平方呢
是sin平方t
加上y导数的平方呢
就是R平方cos平方的t dt
我们可以发现 这就等于
被积函数是从零到二分之pi的积分
R乘上sin t
sin平方加cos平方就等于1
所以就乘上R dt
这是一个 Rdt是什么东西呢
我们知道圆的弧长
在dt的小范围内它的弧长不就是Rdt
所以呢 最后得到的式子
完全是一样的
也就等于R平方
从零到二分之pi sin t的dt
我们积一下分的话 就等于R的平方
同样这么一道题
这么一个第一类曲线积分
我们还可以再换一种做法
我们知道 L这条曲线
它有一个显函数的表示形式
y就等于根号R方减x平方
其中x的取值范围呢 是从0到R
那么我们可以知道
原来L上y这个dL呢
又可以写成从0到R上的定积分
y呢是等于根号R方减x平方
乘上根号1加上y对x的导数的平方
y对x的导数的平方呢 就等于
应该是等于x平方除以
根号R方减x平方的括弧的平方 dx
我们把它改写一下
就等于从0到R上的积分
被积函数呢就应该是等于Rdx
就也等于R的平方
所以呢 对平面上的第一类曲线的积分
参数方程也可以 那么如果说没有办法
对简单曲线把它写成
显函数形式的方程
我们也可以得到相同的结果
好我们再看一个例题
还是求第一类曲线积分
在L上的x平方dL
第一类曲线积分
L这条曲线呢 是这么构成的
它是由一个球面
x方加y方加z方等于R方
这是一个球面
和x加上y加上z等于零
所交出来的这么一条曲线
我们可以画一下示意图
这是一个球面 那么球心呢
当然是就在原点的
x加y加z是一个过原点的一个平面
那么过原点的平面
给它交出来的话
差不多是一条这么一种曲线
这是一个过球心的这么一个大圆
方法一 因为我们原来在讲
第一类曲线积分的计算的时候
我们用的 要么就对空间曲线来讲
需要用一个参数方程
那么这么一条曲线的参数方程
对我们来讲比较困难一点
当然我们有很好的技巧
来构造出参数方程
但是太过技巧性了
所以呢在这儿我们就不介绍了
我们下面要讲的是第二种方法
我们来看一看 在这条曲线里面
x y z实际上三个变量
实际上都是完全是等价的
所以根据对称 轮换对称性的话
我们可以发现 在L这条线上
x平方的第一类曲线积分
应该是等于在L这条线上
y平方的第一类曲线积分
应该等于在L这条线上
z平方的第一类曲线积分
什么情况下我们这个轮换对称性不对了
如果说x y z它们的位置不平等的时候
那么 就可能出现不对
比如说 我加一个2
这个如果说这个平面是
2x加y加z等于零
同样这也是过球心的一个平面
它截出来的同样是一个大圆
但是呢 如果我加了一个2之后呢
显然发现 x和y z它们之间的关系
肯定是不平等的
所以呢 这个等式就不会再有了
既然由轮换对称性
我们可以得到这么一个等式
那么我们就可以知道
它就等于三分之一的在L这条线上
x方加上y方加上z方的第一类曲线积分
我们来看看在L这条线上
L这条线呢 是由x方加y方加z方等于R方
和x加y加z等于零交出来的
所以在L这条线上
x方加y方加z方永远是等于R方
所以这样一来的话我们就可以知道
它就等于三分之一在L这条线上
x方加y方加z方就等于R方dL
那么我把R方拿出来的话
就是三分之R平方
L这条线上1的第一类曲线积分
我们知道1的第一类曲线积分
就是弧长 而这个呢
正好是一个大圆的弧长
所以呢 就等于三分之R方乘上2 pi R
整理一下 我们可以得到最后结果
所以从这个角度上来讲
我们现在发现
我们现在求的第一类曲线积分
包括以后我们要求的第一类曲面积分
以及第二类曲线积分 第二类曲面积分
它们跟我们原来学过的
定积分 二重积分和三重积分
有一个不太一样的地方
如果大家回去再回顾一下
我们讲的定积分
假如说你要讨论是在0 1中的
f x dx这么一个定积分
实际上积分区域
是小于等于x小于等于1
这就是它的积分的区域
或者说对一元函数来讲
就是一个积分区间
所以这是一个不等式的区域
比如说我们在二重积分里面
我们说D上的二元函数的积分
那么这个D区域我们经常讲
如果说就等于x y
x方加上y方小于等于1
就是一个单位圆域
那么这时候你会发现
这种 定积分也好 二重积分也好
后面我们三重积分也好
它的积分区域都是用不等式来表示的
而我们现在讲的
第一类曲线积分它是有方程的
所以呢 这个方程
实际上都可以用于被积函数的化简的
这样的话对我们的计算
就带来了很大的好处
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
