空间曲线的切线与法平面（之二） 在线视频

好 前面我们已经介绍了

在参数方程形式下

怎么样求曲线切线和法平面问题

接下来我们看一下

如果曲线的方程是一般方程时

我们怎么求

也就是说

一般方程形式下怎么样求

曲线的切线与曲线的法平面问题

我们先看一个特殊情况

也就是说 我们假设

L的一般方程是这个样子

也就是y=y(x) z=z(x)

我们知道在三维空间里面

y=y(x)表示的是一张

母线平行于z轴的柱面

而z=z(x)表示的是一张

母线平行于y轴的柱面

也就是说 这个时候

L应该是两张柱面的交线

如果我们在这个方程形式下

我们要求这条曲线L

在(x0,y0,z0)处的切线和法平面方程

也就是要求在这点的切向量

我们该怎么求

我们把这个方程

可以给它看成是这个样子

也就是 我让x是参数

那么x y z自然就

都与这个参数x建立了联系

当然 为了保证我们的切向量是有的

我们在这个地方对y(x) z(x)

这两个函数加的是

具有一阶连续导数的条件

在这个前提下 根据我们前面

参数方程形式下的切向量的计算

我们就知道切向量的第一个分量

就是x关于x求导

第二个分量就是y关于x求导

在相应点的值

第三个分量就是z关于x的导数

在相应点的值

那么切向量出来了

我们自然就可以写出

它的切线方程 也就是

x减掉x0除上一 等于

y减y0除上y'(x0) 等于

z减z0除上z'(x0)

其中y0是y(x)这个函数在x0点的值

z0是z(x)这个函数在x0这点的值

类似的 大家自然可以写出

它的法平面方程 也就是

x减掉x0 前面乘一 再加上

y'(x0)乘上y减y0 再加上

z'(x0)乘上z减z0 等于零

这是在这种特殊的一般方程形式下

我们写出了它在相应点的

切线方程和法平面方程

现在我们考虑一般形式

一般形式 所谓一般方程 指的是

我们把曲线看成是空间中

两张曲面的交线

而这两张曲面的方程我们分别用

大F(x,y,z)等于零

和大写的G(x,y,z)等于零来表示

那么这个时候

我们怎么样来求

它的切线方程和法平面方程

那我们看一下

在前面我们介绍隐函数组求导的时候

我们曾经说过

这两个方程可以理解成是

变量x y z满足的方程组

在一定条件下 如果给定了x的值

我们就会得到唯一的y和z与它对应

也就是在一定条件下

这个方程组可以确定y是x的函数

z也是x的函数

那么我们求这条曲线

在相应点的切向量的时候

实际上 根据前面这种特殊情况下的求法

我们主要就是求

y z关于x的导数就可以了

那我们知道 在一定条件下

我们可以在方程两端关于x求导

y z当成中间变量

就会得到y z关于x的导数

满足的一个一次方程组

这个方程组 我们把它的解写出来

就是y'(x)应该等于

分子这个地方应该就是

F关于z的偏导数

F关于x的偏导数 放在第一行

G关于z的偏导数

G关于x的偏导数 放在第二行

构成的一个二阶行列式的值 这是分子

分母应该就是

F关于y的偏导数 F关于z的偏导数

G关于y的偏导数 G关于z的偏导数

构成的另外一个二阶行列式的值

这个导数我们就求出来了

类似的 我们另外一个导数

在解方程组的过程中 也得到了

它的分母跟y'(x)的分母是一样的

这一个我们不再重复了

它的分子应该是这样子的

应该就是大F关于x的偏导数

大F关于y的偏导数

G关于x的偏导数 G关于y的偏导数

正好构成了一个新的二阶行列式的值

也就是说我们利用

这两个曲面的方程函数

可以得到我们要的这两个导数值

那我们的切向量就应该是等于

第一个分量是一

第二个分量是y关于x的导数

第三个分量是z关于x的导数

我们把y z关于x的导数代进去

我们为了使得这个形式好看

我们再给它乘一个非零数

就是这个分母

所以这个法向量应该平行于

就是第一个分量是个二阶行列式

这个二阶行列式的值是

F关于y的偏导数 F关于z的偏导数

G关于y的偏导数 G关于z的偏导数

这是这个向量的第一个分量

第二个分量应该就是

F关于z的偏导数 F关于x的偏导数

G关于z的偏导数 G关于x的偏导数

构成的这个二阶行列式是第二个分量

第三个分量是

F关于x的偏导数 F关于y的偏导数

G关于x的偏导数 G关于y的偏导数

构成的这个二阶行列式的值

这样我们就得到了它的一个切向量

有了切向量之后

我们自然就可以写出

它的切线方程和法平面方程

那 我这个三个分量

分别用大写的(A,B,C)来表示的时候

那么它的切线方程就是

x减x0除上A等于

y减y0除上B等于

z减z0比上C

其中(x0,y0,z0)是曲线上

我们要求切线的那一点

(x,y,z)我们表示的是

切线上任一点的坐标

法平面方程就是

A乘上x减x0 再加上

B乘上y减y0 再加上

C乘上z减z0等于零

在这个地方(x,y,z)

表示的是法平面上任一点的坐标

在这个形式下 我们来求

切线和法平面方程时

一般同学感觉到

这个切向量计算量是不是很大

首先大家只要知道

二阶行列式的值怎么求

这个计算量本身并不算太大

但是有的同学会感觉到

我怎么样能够记住这个切向量

实际上大家注意一下

在这个行列式里面

第一行它只牵扯到了大F这个函数

关于x y z的偏导数

第二行我们只牵扯到了

大G(x,y,z)这个函数

关于x y z的偏导数

那我怎么去找

第一个它是缺x的偏导数的

所以说它就没有x的偏导数

那自然就是y和z的偏导数

顺序就是从y到z

所以顺序这个时候就是y z

第二个它是没有关于y的偏导数

剩下的是只关于x关于z

那它的顺序就是z x

第三个自然就缺关于z的偏导数

它的顺序就是x y

也就是说

按照我们的习惯

x y z是这个顺序

第一个把x拿掉

拿掉放到哪 放到后面来

这就是x

第二个把y拿掉

拿掉以后再放到后面来

第三个把z拿掉

所以这应该有一个轮换顺序

如果大家了解了这一个的时候

这个切向量自然就能够记住了

这是关于在一般方程形式下

我们怎么样求切线方程和法平面方程

刚才我们说在一定条件下

我们的一定条件指的是什么

指的是 这两个函数

具有一阶连续偏导数

同时 这两个函数

关于y z的一阶偏导数

构成的这个二阶行列式的值

是不等于零的

我想在这两个条件里面

第二个条件从我们的计算公式就知道

而第一个条件这就是我们一般的

对曲线光滑性的描述

就是说 它的方程应该具有一阶连续导数

或者是偏导数

在空间曲线问题里面

我们经常还会说到

说切向量它的方向余弦 指的是什么

方向余弦当然是方向角的余弦

而方向角指的是什么

是指的这个切向量

与三个坐标轴正向的之间的夹角

这是一个问题

另外我们还会经常说

空间中两条曲线它的夹角

夹角指的是

这两条曲线在交点处切线的夹角

如果我们切向量会求了

那么根据两个向量内积的定义

我们自然就能求出夹角的余弦来

当然最后一个问题 请大家想一想

就是说 我们在讲定积分的时候

曾经讲过利用定积分求曲线的长度

而且有一个结论是说

如果我们的空间曲线

是以参数方程形式给出的

那么它的长度的计算

应该是参数从α到β积分

被积函数应该就是

x关于t导数的平方

加上y关于t导数的平方

再加上z关于t导数的平方

那现在我们学了

空间曲线的切向量之后

大家能不能看出来

在这个积分里面

被积函数是什么

被积函数正好是

在参数方程形式下

我们得到的切向量的长度

这样 回过头来

我们可以更好的去理解

利用积分求曲线长度时

这个表达形式