当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第三章重积分 > 第七节 含参变量积分 > 含参积分的例题
好下面我们看几个例子
我们要求这么一个积分
从0到pi log
1加上theta cos x dx
其中呢
theta的绝对值是小于1的
那么我们给一个新的做法
我们如果说 把这个函数
把theta作为一个参数
把x看成一个积分变量
我把它写成I theta呢
就等于从0到pi
log 1加上theta cos x的dx
我们来看看
原来我们在做含参积分的时候
我们把这个函数叫做f x y
我们来看看 对theta的偏导数
log 1加上theta cos x
很显然 我们可以看出来它就等于
cos x除以1加上theta cos x
这个函数当x在0到pi里面
theta的绝对值小于1的时候
这是一个连续函数
所以 关于含参积分求导数
那个定理可以告诉我们
I关于theta的导数
就等于从0到pi的积分
我们把偏导数放进去
就等于cos x
1加上theta cos x dx
那么这个积分呢
我们把它写开之后
它就等于0到pi积分
theta分之一
括弧1减去
1加上theta的cos x分之一
这个函数的对x的积分
那显然theta分之一的积分
当然很简单的
我们放在那儿
我们来看看 后面那个积分
我们求不定积分
1除以1加上theta cos x的dx
看看这么一个不定积分
这是一个三角有理函数的积分
我们作变量代换
这个变量代换呢 就万能公式
令t就等于tangent 二分之x
我们可以把这么一个三角有理函数
变成一个分式有理函数的积分
这个积分呢 就可以把它变成
2 仔细算一下 是1加上theta
加上1减theta的t的平方dt
那么这就变成了一个
明显的是一个分式有理函数
这个有理函数 我们做一下积分之后
我们可以知道
它就等于2除以根号1减theta平方
然后arc tangent
根号1减theta 1加theta的
乘上tangent 二分之x加上常数c
不定积分加上常数c
那么我们来看看 从0到pi的积分
牛顿莱布尼茨公式 0到pi的积分
下限是零 上限是pi 朝里面一代
那么我们可以知道 最后
x取零的时候 下限就是零
当x趋于pi的时候
tangent 二分之pi是趋于正无穷
那么乘上根号1减theta 1加theta
仍然是趋于正无穷
arc tangent 当变量
趋于正无穷的时候呢
arc tangent正好趋于二分之pi
所以最后的值
就是pi除以根号1减theta的平方
好 我们把这个积分算出来了之后
我们把它代到 I的导数
I对theta的导数 就可以写成
上面呢 是pi除以theta
减去theta分之一
根号1减theta平方 上面是pi
那么I关于theta的导数
可以写成theta的函数
那么I theta呢
我们把这个积分积出来
我们积出来呢 结论就是等于log pi
1加上根号1减theta平方
加上任意常数c
我们来确定这个任意常数
我们知道 当theta取零的时候
这个积分显然就是等于零
所以I 0就是等于零
可以推出c呢就等于负的pi乘log2
我们把这c代进去之后
我们可以知道
原来我们要求的这么一个定积分呢
就等于 pi log
1加上根号1减theta平方除以2
那么原来是我们要求的
是这么一个关于参数c的 theta的
这么一个定积分
那么我们用一下含参积分
它的可导性质
我们可以用下面的过程把这个算出来
好我们再来看一道例题
要求这么一个积分
从0到1 x的b次方减去x的a次方
除以log x dx
其中呢 b是大于a大于零的一个数
我们还是用我们学过的知识
来做这么一个定积分
我们知道 x的b次方减去x的a次方
除以log x
实际上就等于从a到b的积分
x的y次方dy
同样我们知道
x的y次方当然是一个连续函数
关于x y两个变量 是一个连续函数
既然它是在 什么地方呢
x的范围是0 1
y的范围呢 是a b是一个连续函数
既然是连续函数 那么我们也知道
原来我们这个积分
我把它 如果说把它记成I
这个I呢 就可以写成 从0到1
dx 从a到b x的y次方dy
交换累次积分的积分次序
就可以写成
从a到b dy 从0到1 x的y次方dx
那这第一个积分就很简单了
从a到b dy 前面
里面那个积分呢
是x的y次方 就等于y加1分之1
本身是x的y加1次方
这个函数在x等于零 x等于1取值
牛顿莱布尼茨公式
就等于从a到b 那么y加1 dy
我们把这个积分
当然很显然的把它积出来之后
等于log 1加b除以1加上a
那么这也是用了
关于二次积分交换积分次序
或者说呢含参积分
交换积分次序的这么一个定理
这么一个 来做的
好我们来看看最后一道例题
好我们要求 从y到y平方
sin x y除以x dx
我们如果说把这个
含参积分叫做I y的话
我们要求 I关于y的导数
那么我们来看一下
这是一个标准的含参积分
我们来看看里面那个函数
偏 偏y sin x y除以x
对y的偏导数
就等于 里面呢 是cos x乘上y
那么这是一个连续函数
所以我们可以知道 d dy
从y到y平方 sin括弧x y
除以x dx
上限下限内部都在变的一个
复合变限的 含参积分
就可以写成是 从y到y平方
里面呢 是偏导数 偏 偏y
sin x y除以x
求完偏导数之后 对x的积分
再加上 上限代进去
sin y的 y平方乘上y
y的三次方 除以y的平方
再乘上y平方的对y的导数
两倍的y 这是加号
再减去 下限代进去
sin y的平方除以y乘上1
我们稍微把它化简一下
我们就可以得到我们想要的结果
就是从y到y平方
这里面呢是cos x乘上y dx
加上两倍的
sin y的三次方 除以y
再减去 sin y的平方 除以y
如果你愿意做的话
你可以把cos这个积分再积出来
当然也可以积出来
最后写成统一的最后的形式
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
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--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
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--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
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--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
