当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第一章 多元函数微分学 > 第五节 多元函数的方向导数与梯度向量 > 方向导数的概念
好 在这节课里面
我们来介绍一下
多元函数在一点的
方向导数的概念
我们先看一下
函数在一点的方向导数
研究的是函数的什么性质
对于一个二元函数来说
我们考虑平面上的一个点
比如说坐标是(a,b)
我们所谓的方向导数
主要就是说 一个二元函数
f(x,y)过这点沿着这条直线
它的变化情况
因为这个问题
在我们前面讨论偏导数时
实际已经讨论过
不过就是在讲偏导数概念时
我们把这个直线
限定为特殊的直线
也就是过这点
且与坐标轴平行的直线
现在我们把偏导数的概念
推广的一般的直线上
那么假设这个直线
它的方向向量 用l来表示
就是它的方向向量
我们可以这样写
这是单位向量
那么这条直线的参数方程
我们就可以这样来写
就是x等于a加上t倍的cosα
y等于b加上t倍的sinα
其中t是参数
那么我们现在看当这个点(x,y)
落在这条直线时
它在这一点的函数值
f(x,y)与(a,b)这点的函数值的差
再除上某一个量
这个量实际上这两点做的时候
除的应该是t
我们就看当这个t趋向于零
也就是这个点沿着直线
越来越接近(a,b)这个点时
这个比值的大小
这个比值的大小自然是反映了
函数在这一点沿着这条直线
函数值得改变与自变量改变之间的
这种依赖关系
反映的是
当自变量改变了一个单位时
函数值改变了多少个单位
我想这是我们要讨论方向导数
要说明的问题
接下来 我们就仿照偏导数的概念
给出函数在一点方向导数的定义
设函数f(x,y)在点(a,b)
及其附近有定义
向量l是一个单位向量
两个分量分别是cosα sinα
如果下面这个极限
也就是f在
a加上tcosα和b加t倍的sinα
这一点的值
减掉f在(a,b)这点的值
除上t
在t趋向于0时的极限存在
我们就说这个极限值
是这个二元函数f(x,y)
在(a,b)这一点
沿着这个方向l的方向导数
我们用偏f 偏l来表示方向导数
我想这就是方向导数的定义
实际上有了方向导数的概念
从定义我们可以看出
所谓多元函数在一点的方向导数
实际上就是一元函数的导数
因为我们可以这样把这个函数
定义成这个样子
g(t)就等于f(a+t cosα,b+t sinα)
那么在(a,b)和α确定的前提下
这就是t的一个一元函数
那么 根据一元函数的导数
我们知道 它在t等于0这点的导数
应该就等于t趋向于0时
g(t)减掉g(0)除上t
那么 大家把g(t)的表达式代进来
把g(0)的值代进来
就是考虑的这个比值的极限
所以说 方向导数本质上
仍然还是一元函数的导数
那么有了方向导数的概念
我们回头再来看一下
方向导数和偏导数的关系
我们说 偏导数
实际上是特殊的方向导数
也就是说 如果我的方向向量
是(1,0)或者是(0,1)时
这个时候
我考虑的二元函数的方向导数
就是二元函数在这点
关于x和关于y的偏导数
也就是偏f(a,b) 偏x
实际上就是t趋向于0时
f(a+t,b)再减掉f(a,b)
再除上t
这就是这个偏导数
大家从这个表达式可以看出来
实际上就是二元函数
在(a,b)这一点沿着l方向
第一个分量是1第二个分量是0
沿着这个方向的方向导数
类似地 关于y的偏导数
也是特殊的这个方向导数
我想这是关于
这是方向导数和偏导数的
尽管我们这个定义里面
都是以二元函数为例
那么对于一般的多元函数
我们当然也可以定义
它在某一点
沿着给定方向的方向导数
也就是对多元函数来说
比如说我一个n元函数
偏f 然后它在
(x10,x20,...,xn0)这一点
沿着某个方向它的方向导数
它的定义
就是定义成这个极限值
t趋向于0
然后 f
x10加上t倍的cosα1
x20加上t倍的cosα2
一直到
xn0加上t倍的cosαn
在减掉
f在(x10,x20,...,xn0)这一点的值
再除上t
也就是说n元函数在一点
它的方向导数
我们可以考虑成是
这个比值在t趋向于0时的极限
实际上 n元函数
在一点的方向导数
它与二元函数
在一点的方向导数
定义方式是完全一样的
所以说我们只要有了
二元函数的方向导数
自然也就得到了
一般的多元函数的方向导数的概念
这是我们要介绍的
函数在一点 沿着某个方向
方向导数的概念
在这里面请大家注意
我们的方向
是用单位向量来表示的
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
