当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第三章重积分 > 第二节 二重积分的计算 > 二重积分的计算：直角坐标系（2）
好我们再来看一道例题
这次呢 我们真正开始计算了
要求这么一个二重积分
在D区域上的绝对值y减x平方dx dy
其中这个D区域呢 是这么给出来的
x y x的绝对值小于等于1
y呢是大于等于零小于等于2
那么在做二重积分的时候
我们通常先把那个积分区域给画出来
我们来看看现在我们那个积分区域
这是y轴 这是x轴 x y
x在正负1之间 y在0到2之间
实际上这个积分区域
就是这么一个积分区域
这个呢 是2 这个是负1 这个是正1
那按理说这个区域的
二次积分是很简单的
实际上就是等于D上的二次积分
绝对值y减x平方 dx dy
实际上我们就可以写成
x呢 是从负1到正1 y呢 是从0到2
被积函数呢 是y减x平方的绝对值的dx
但现在问题就来了
尽管这个区域
是一个长方形的区域是很简单的
但是这个函数并不简单
它是一个带绝对值的函数
我们知道 绝对值
y减x平方可以分成两部分
第一部分呢 是y减x平方
如果说y大于等于x平方的时候
第二部分呢 是x平方减y
如果y小于等于x平方的时候
所以这个函数如果要写成初等函数的话
实际上要分段来写
这个分段的中间的分割的曲线呢
就是y等于x平方
y等于x平方呢 就是它的分割曲线
那么这个分割曲线
在积分区域上是如何体现出来呢
就是这么一个抛物线 y等于x平方
所以我把上面那个区域叫做D1
我把下面这两个区域呢叫做D2的话
实际上f x y这么一个二元函数
如果转化成为初等函数的时候
在D1和D2它的表达式是不一样的
既然函数的表达式都不同了
那么我们这个 在D区域上的二重积分
y减x平方
我们只能是写成两个二重积分
第一个呢是在D1上的二重积分
D1这个区域就是y是大于等于x平方的
所以呢 应该是y减去x平方dx dy
再加上在D2这个区域上的积分
第二个区域呢 是x平方减y的dx dy
所以下面我们要做的工作
就是分别来算这两个区域上的二重积分
所用的方法还是把一个二重积分
转化成为一个二次积分来算
我们先来看看第一部分
在D1上的y减x平方dx dy
我们来看看D1这个区域
是一个盾牌型的区域
在x轴上的投影
是不是正好是负1到正1
所以呢 投影是负1到正1 dx
投影 我负1到正1中的x随便找一点
朝上一走 有一个进去的点
是不是就有一个出来的点
进去的点是x平方 y等于x平方
出来的点是y等于2
所以呢进去的点呢 y等于x平方
出来的点呢 y等于2
y减去x平方 dy
变成了这种形状的二次积分
所谓二次积分
就是做一次积分 再做一次积分
我们先做 里面那次积分是先做的
那么这一次积分 我们来看看
就是把y看成是一个变量
把x呢看成常数做的一次积分
那么这个积分我们当然可以算啦
就等于从负1到正1
dy 因为这个积分比较
dx 这个积分呢 被积函数比较简单
我们口算也可以算出来的
就是等于二分之y的平方
减去x平方乘上y
也就是说 我把x看成是常数
把y是看成变量
那么y的原函数就是二分之y的平方
那么x平方 那么x常数啊
那么它的原函数就是x平方乘上y
所以这就是里面那个 它的某一原函数
那么根据牛顿莱布尼茨公式
把上下限代进去 因为现在有两个变量
所以代的时候我们小心一点
是y等于x平方 和y等于2代进去
这个积分做完之后 再对x做一次积分
那么这就等于从负1到正1
我把y等于2代进去 就是二分之四
二二得四 减去二倍的x平方
这是第一项 把积分的上限代进去
我把积分的下限代进去
再减去二分之x的 二分之
y呢是等于x的平方 y
二分之y平方呢 就是二分之x的四次方
再减去 里面呢 y等于x平方
x平方 x平方 然后x的四次方
这个函数的 对x的定积分
做完一次累次积分之后
就变成了只出现x这么一个函数的
对x的这么一个定积分
当然这个定积分当然很简单很简单
这是一个多项式的定积分
我们来看看第二个积分
是在D2这个区域上的积分
现在是x平方减去y dx dy
要注意D2这个区域是有左右两块的
D2这个区域呢
在x轴上的投影还是从负1到正1
所以它依然是从负1到正1
dx 这个积分是后做的那个积分
我们来看看 x从负1到正1的地方
我随便找一个x朝上一走
y是不是从零开始到那条抛物线
所以呢 y呢正好是从零
小的是零
大的是y等于x平方是条抛物线
那么变成 x平方减y的dy
所以呢 变成这种形状的二次积分
同样我们还是讲
这种括弧我们从来是不加的
做一次定积分 再做一次定积分
也就等于从负1到正1dx
那这时候我们来看看这个函数
我们把x看成是常数
把y看成是变量
那么它的原函数呢就是x平方y
减去二分之y的平方
积分的下限y是等于零
积分的上限呢y等于x平方
牛顿莱布尼茨公式
因为这里面有两个变量
所以呢通常小心一点
因为我们说的是对y的积分
所以y从零到x平方
那么这个积分我们可以给它写一下
从负1到正1的积分
我们把y是x平方代进去
是x的四次方减去二分之x的四次方
这是积分上限朝里面代
积分下限朝里面代 0 0
减去0变成这个dx
那么 我们最终 我们那个D区域上
绝对值y减x平方dx dy这个积分呢
就变成了第一个积分再加第二个积分
我们可以把 因为这都多项式的积分
并不是太难 我们把积分值
定积分算出来之后
我们可以得到我们想要的那个结论
那么这个最后的结论呢是15分之46
15分之46
那么这就是一个
积分区域看上去虽然说是
比较简单是一个长方形的区域
作为二重积分来讲
这种长方形区域是最简单的区域
但是由于被积函数稍微麻烦一点
因为它是一个绝对值的y减x平方
我们要把绝对值打开
那么我们只能把这个区域做分割
我们分成两块区域之后
我们可以把绝对值y减x平方
变成了y减x平方或者是
x平方减y这么一个简单的初等函数
然后每一个区域上呢
我们分别作二重积分
所用的方法
就是把一个二重积分呢
转化成一个二次积分
那么这一个二重积分转化成为二次积分
我们现在的顺序是什么东西呢
积分的顺序实际上都是用的是
先对y作积分这是先做的一个积分
然后这是后做的那个积分
大家可以试一下 如果说我要先对x积分
然后对y作积分 怎么办
也可以做的 但是呢 这时候会复杂很多
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
