Stokes公式及其应用在线视频

好 我们开始讲Stokes公式

这是场论的最后一个公式

我们讲过Green公式

讲过Gauss公式

这是第三个公式

也是最后一个公式 Stokes公式

那么Stokes公式所关系的是

空间的闭曲线上的第二类积分

以及以闭曲线为边界的曲面上的

第二类曲面积分之间的一个关系

假如说空间有这么一条闭曲线

以及有一个曲面一这条闭曲线为边界线

这样呢 叫做曲面

这个呢 边界线

曲面的边界

那么对于定向 我们有要求

是右手螺旋法则

也就是说 如果说

四个手指头表示曲线的方向

那么曲面的方向是用大拇指来表示

那么在我们图上来讲的话

如果说曲线的方向是这个方向

那么根据右手螺旋法则

曲面的方向呢是这个

是曲面的方向

那么曲线的方向可以确定曲面的方向

反过来来讲

如果曲面的方向确定之后

曲线的方向呢也一点是确定了的

那么Stokes公式公式的定理是这样来描述的

Stokes公式

如果S曲面是包含在Ω区域

这是一个R3中的区域

S是一个逐片光滑可定向的曲面

边界线和S曲面构成右手螺旋法则

如果V作为一个向量值函数

在Ω内是一个连续可微的

也就是C1类的函数

那么我们可以得到如下的Stokes公式

它把一个在S边界上的第二类曲线积分

变成了再S曲面上的第二类曲面积分

其中这个被积函数是一个向量值函数

我们把它集成rot(v)

把它叫做v这个向量值函数的旋度

那么旋度呢可以有这么一个行列式来表示

如果说我们记v这个向量值函数的旋度

把它写成是Z对y的偏导数

减去Y对z的偏导数 第一个分量

第二个分量是X对z的偏导数

前去Z对x变量的偏导数

这是第二个分量

第三个分量是Y对x的偏导数

减去X对y的偏导数

所构成的一个这么也是一个向量值的函数

我们把这个向量值函数的重新

因为这记起来不太好记

我们重新用矩阵的形式来写

这个行列式呢是这么来说的

i j k 第二行呢是

偏偏x偏偏y偏偏z

第三行呢是X Y Z

这个行列式这么来说的

你想 通过这个行列式的计算

我们知道对i

第一分量是i乘上偏偏y Z

也就是Z对y的偏导数作为第一分量

那么j呢是第二分量

是对z的偏导数 谁呢

X X对z的偏导数作为第二分量

k呢是第三分量

谁呢 是这么两个一乘 乘上k

那么Y对x的偏导数作为第三个分量

这个行列式是三个主对角方向的三个正的

同样还有三个负的

你看 k方向也就是第三分量

这是负的 X对y的偏导数

X对y的偏导数

然后呢 第一分量 i分量呢

是Y对z的偏导数

是Y对z的偏导数

最后呢还有呢

j第二分量呢

Z对x的偏导数

这三个相乘

那么这是借助了行列式的记号

我们把旋度呢就写的稍微简单一点点

那么在这个意义下 记号下

我们可以知道

Stokes公式公式我们

在一定的条件下

这个条件分两类

第一类呢是定向有条件

第二类呢对v这个向量值函数的

光滑性我们有条件

在这么一些条件下

那么边界上的第二类曲线积分

可以写成以这个边界线为曲面的

边界的这曲面上的旋度的第二类曲面积分

那么所以说Stokes公式

它联系了第二类曲线积分

和第二类曲面积分

Stokes公式给我们带来的好处有两个

第一个就是计算

我们找一个例子来看一看

要算l这条闭曲线上的第二类曲线积分

其中l这条闭曲线呢是这么构成的

这是一个平面

这个平面过三个点

在x轴上过(a,0,0) a是大于零的

在y轴上呢过那个点(0,a,0)

在z轴上呢过那个d点(0,0,a)

过这三个点的一个平面

从z轴的上方看下去

是逆时针方向

所以呢是这么一个方向

这是l作为一条闭曲线

要求这条闭曲线第二类曲线积分

首先我们想用Stokes公式来算的话

我们首先要找一个曲面

这条曲面呢是以这条曲线为边界线

最简单的一个曲面

那当然是这么一个平面

我们把这个平面叫做S曲面

那么我们对定向就有规定

因为Stokes公式要求这个定向

是右手螺旋法则

所以呢我们看l的边界是沿着这个方向

那么它的曲面的方向应该是

这是曲面的正方向

那么Stokes公式马上就用一下

因为函数的光滑性当然是很好的

所以呢根据Stokes公式我们可以知道

它就等于在S这张曲面它的旋度

哪个旋度呢

第一分量是y

第二分量是z

第三分量是x

旋度的第二类曲面积分

我们可以算一下这个旋度

我们知道旋度

i 三个分量 j k

偏偏x 偏偏y 偏偏z

Y Z X

用一下 行列式的记号

那么我们知道三个正的

这个方向X对y的偏导数等于零

j方向呢是Y对z的偏导数等于零

k方向呢是Z对x的偏导数等于零

所以三个正的都等于零

三个负的呢 你看

第三个分量 Y对y的偏导数等于负一

第二个呢是X对x的偏导数也等于负一

第一个分量呢是Z对z的偏导数等于一

有一个负号

所以呢它的旋度就是等于(-1,-1,-1)

所以Stokes公式告诉我们

原来那个积分实际上就等于

我们S这个曲面上(-1,-1,-1)

这个向量的第二类曲面积分

那么再根据第二类曲面积分的计算

我们知道S这张曲面它的法向量

法向量(1,1,1)单位化的话

单位法向量就是(1,1,1)除以根号三

这是单位正法向量

所以呢它就等于

在S曲面上(-1,-1,-1)

点积单位正法向量(1,1,1)除以根号三dS

这是一个第一类的曲面积分

这是一个数量值函数

这么一点积的话

就等于根号三乘上SdS负的根号三

那么这是什么东西呢

这我们知道啊 这就是

我们这个曲面的它的面积

这就是曲面面积

我们把这曲面 当然从几何上很简单

把这个曲面面积马上就可以算出来

算出来的话正好是等于

负的二分之三的a的平方

所以呢 最后我们根据Stokes公式

我们可以把这个第二类曲线积分

很容易的用 第二类曲面积分来表示

最后呢我们可以很容易的

把这个第二类曲面积分呢算出来

如果不用Stokes公式实际上这个积分也可以算

只是呢这时候这条线

第二类曲线积分是不是用三个积分来做

显然会麻烦一点点

好我们再来看一道例题

xdy减ydx除以x平方加y平方dl

这时候呢l这条线呢分两种情况来讨论

第一种情况呢 我们看看l这条线

是不过z轴也不绕着z轴转

的一条闭曲线

我们画一个图 xyz

l这条线呢是一条闭曲线

这条闭曲线呢既不经过z轴

也不绕着z轴走

那么基本上是这么一条曲线

假如我们随便给一个方向吧

好 那么我们来看一下

l既然是不过z轴也不绕着z轴走

我们以l这条曲线为边界线

可以构造一个曲面叫做S

根据右手螺旋法则

如果L是我们图上这个方向的话

S的方向就应该向上

根据Stokes公式我们可以知道

我们在l这条线上的第二类曲线积分

可以写成S曲面上的旋度的第二类曲面积分

每个行数呢

这个向量值函数的第一个分量

是负y除以x的平方加y平方

第二分量是x除以x平方加y平方

第三个分量dz前面的系数是等于零

所以第三个分量就是零

那我们来算一下旋度

负y x平方加上y平方

x x平方加上y平方和零

实际上我们借助行列式来算

i j k

偏偏x 偏偏y 偏偏z

负y除以x方加上y方

x除以x方加上y方

零

最后你算的结果是等于零

而我们还知道

这个向量值函数无论是在这条曲线

还是曲面上都是属于C1类函数

大家可以注意一下

这么一个向量值函数

出问题的地方就是x平方加y平方等于零

也就是z轴这个向量值函数出问题的

它的光滑性是不够的

因为它连定义都没有

所以呢除了z轴之外都是好的

而这条曲线呢既不过z轴

也不绕着z轴走

所以我们找的曲面呢

当然也不要过z轴

这样的话 我们可以知道

最后我们可以算出来

因为它的旋度既然是等于零

那么这个第二类曲线积分呢

最后就等于零

因为零的第二类曲面积分自然是等于零的

所以我们可以知道对第一种情况

l这条线既不过z轴也不绕着z轴走

那么这么一个第二类曲线积分

永远是等于零的

第二种情况我们再来看看

l是绕着z轴走一周的这么一个曲线

方向呢是从z轴的正方向看去

是逆时针方向

好 我们来看看这条曲线是什么样子的

在三维空间中

这条曲线是绕着z轴转一圈所形成的这曲线

从z轴的正方向看上去呢

是逆时针方向

就这么一条曲线

那么这时候就出问题了

我们同样跟刚才那个办法一样做

以这条曲线为边界线

我们做一个曲面给它包起来

这时候你会发现无论如何

这个曲面跟z轴总是有一个交点的

那么这时候的第二类曲面积分

因为这个函数分母有x平方加y平方

所以呢这个被积函数它的旋度构成的被积函数

在z轴这一交点处呢

分母一定是为零

分母为零那么这函数的Stokes公式光滑性条件就破坏了

所以这个时候呢

直接用曲面给它截住的话

你会发现不能直接用Stokes公式

因为Stokes公式它有一个对被积函数

它有一个光滑性的要求

现在在这一点呢

被积函数连定义都没有

更谈不上光滑

所以呢我们换一个方法

来找一个另外一个曲面给它围起来

这个曲面呢就是这么一个曲面

l这条线朝xy平面做一个投影

它的投影曲线呢

我们把它叫做l1

同样跟l一样 是逆时针是正方向

我们把这个侧面叫做S

这时候又不太好想侧面怎么叫S呢

我们把S这个曲面再给它切开

本身是一刀

但是我们画的好看一点

我们把它切成两刀

实际上两条线是一样的

上面那个点呢叫做A点

下面那个点呢叫做B点

我们假设S这个曲面如果是外侧为正

那么我们来看看S的边界是由什么组成的

S的边界根据外侧为正

那么这时候这个边界方向

正边界方向根据外侧为正

所以呢从A到B

A到B我们写一个有方向的

A到B

然后呢根据外侧为正的话

再沿着l1的方向走到B点

走到B点之后呢

从B点呢又回去 BA

B点到A点之后呢 接着呢

在外头再绕一圈

而这个方向呢正好l的负方向

所以呢我们可以发现

以外侧为正的这么一个S的正边界的话

是AB加上l1正加上BA加上l1负

这时候你会发现

这个积分除以x平方加上y平方

这时候又可以写成在S正上的旋度

的第二类曲面积分

而这个曲面没有过z轴

既然没有过z轴

在这个曲面上

v的函数是一个很好的函数

C1类函数

所以它的旋度完全是很好的

我们刚才也算了

这个旋度是恒等于零函数的

所以呢这个积分一定是等于零

那么S的边界线有这几条线组成

所以呢AB上的积分加上

l1正上的积分加上BA上的积分

加上l负上的积分

应该是等于在边界上的积分

应该是等于零的

而我们也知道

AB和BA是同一条曲线不同的方向

所以第一类曲线积分正好是抵消的

那么我们也可以知道

l1正上的积分减去l正上的积分

等于零

因为l负的积分等于负的l正的积分

也就是说l正上的积分

也就等于l1正上的积分

那么我们现在就要来算一算

l1的它的第二类曲线积分

xdy减去ydx x平方加上y平方

这时候我们又用到了所谓的Green公式

而且这个Green公式不能马上就用

原因很简单 因为我们知道

l1正的话是这么一条曲线

这是x方向这是y方向

l1呢大概是这么一个方向

是逆时针方向

如果说你直接用Green公式的话

Green公式要求被积函数仍然是要求C1类的函数

而这时候你会发现

这条曲线如果再用曲线二重积分来算的话

一定要包含原点

原点是x方加y方是等于零的

又是有问题的

那么在l正上的积分呢

我再可以找另外一条线

叫做l2正上的积分

l2是什么东西呢

就是xy平面上的单位圆周

l2呢是x方加y方等于一

逆时针方向

问题又来了

为什么说l1正上的积分

等于l2正上的积分

原因很简单

因为我们来看看

l1和l2中间的那个区域

在这个区域上

环域上 Y对x的偏导数

也就是说偏偏x

x除以x平方加上y平方就等于

X对y的偏导数

偏偏y负的y

除以x平方加上y平方

可以算一下

既然这两个相等

所以呢 曲线积分用一下Green公式

我们就可以知道

这个曲线积分不会因为你这个

曲线的它的伸缩而改变曲线积分的积分值

那么在l2正上呢 我们知道它是一个单位圆

既然是一个单位圆

所以呢x平方加y平方等于1

所以呢l2正上 xdy减去ydx

现在我们才可以直接用Green公式

因为这个函数的奇点已经消掉了

x平方加y平方的等于一么

我们把方面消掉了之后

可以直接用Green公式

就等于在D2

D2就是x方加y方小于等于1

这么一个单位圆盘里面

Y对x的偏导数等于一

减去X对y的偏导数减去负一加上一dxdy

也就等于二倍的π

所以我们最后发现

在l2正上的第二类曲线积分

等于二倍的π

最后用Green公式

因为都是平面问题

我们知道在l1正上的积分呢

就等于二倍的π

再用一下Stokes公式我们可以知道

原来在l上的积分呢

就等于l1上的积分

就等于二倍的π

但这道题是一个相对来讲

是我们看见的比较复杂的一道题

那么这道题告诉我们这么几件事情

第一件事情

无论是用我们原来讲过的Green公式

Gauss公式和我们现在讲的Stokes公式

对函数的光滑性都是有要求的

只有当C1类的函数才可以直接来用

如果不是C1类的函数

实际上不能直接来用的

那么这个

第一个呢

在S这个曲面上是C1类的函数

所以呢可以直接用Stokes公式

最后我们发现这个积分等于零

对第二问来讲的话

就不允许直接用Stokes公式

因为这个光滑性不够

要过z轴之后分母就有原点了

所以我们用一个侧面的曲面来

做一个曲面

然后呢 我们来把这么一个l上的

第二类曲线积分变成

底面l1上的第二类曲面积分

然后对l1上的问题呢

就是一个平面上的第二类曲线积问题

我们可以用Green公式

而这时候又可以发现有问题了

不能直接用Green公式

因为直接用Green公式你会发现

这时候它一定包含了原点

D区域一定包含原点

l1的内部肯定有原点

既然是有原点

那么这个分母一定是有零点

分母有零点光滑性又不够

所以我们用Green公式呢

给它伸缩一下

把这个曲线呢

变成一个单位曲线

那么单位曲线呢

我们用了x平方加y平方等于一

把这个分母消掉之后

最后我们可以发现

这时候我们直接可以用Green公式

来最后算得这结果

等于二倍的π

这绕了好几个弯

是一个比较综合性的这么一道题目