当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第二章 多元函数微分学应用 > 第三节 多元函数的条件极值 > 三元函数条件极值问题的提法（之一）
好 前面我们介绍了二元函数
他条件极值问题的提法
接下面我们来看一下
三元函数条件极值问题的提法
对三元函数 我们可以提两种不同形式的条件极值问题
我们先看第一种
也就是三元函数
在一个约束条件下
他的条件极值问题
就是说我们现在考虑一个三元函数f(xyz)
我们要求他的最大值或者最小值
但是我们在求的时候
并不是在他的定义域中
来求他的最大最小
但是我们并不是在这个函数的定义域中
求他的局部最大
或者局部最小
我们要让xyz这个点
限定在某一张曲面上
这个曲面方程我们用g(xyz)=0来表示
所以说 我们可以这样来说
如果让xyz限定在这张曲面上时
我们来求这个函数
fxyz的局部最大和局部最小
这就是三元函数
在一个约束条件下的
条件极值问题的提法
在这与前面介绍的一样
f是目标函数
g是约束函数
而g(xyz)=0这个曲面就是约束条件
从几何上讲
我就是让三元函数的
自变量对应的点
不在定义域中变化
只是在定义域中
某一张曲面上变化
所以说这个约束条件极值问题的提法
在几何上应该是明确的
接下来我们 看一下
如果一个x0y0z0这个点
是这个条件极值问题的极值点的时候
他应该满足什么条件
也就是看一下
条件极值问题的必要条件是什么
他的必要条件
现在我们假设
这个约束函数g(xyz)
满足一定的条件
这个一定的条件
能够保证我们由这个约束条件出发
可以得到这个曲面的一个显示方程
显示方程 那我们把z与xy的关系
代到我们的目标函数里面去
我们就会得到f(xyz(xy))
这样 我们就利用f这个目标函数
与这个x为 xy的二元函数做复合
得到一个新的二元函数
这个二元函数我们不妨就记成h(xy)
现在我们求这个条件极值问题的解
也就是求这个二元函数的
非条件极值问题的解
根据非条件极值问题解的必要条件
那么在一定条件下
我们知道 在他的解的地方
这个函数关于x的偏导数应该是等0
根据复合函数的链导法则
这个函数关于x的偏导数也就是等于
偏f偏x再加上偏f偏z
再乘上偏z偏x
这个要等于0
类似的 这个二元函数
关于y的偏导数
也就是偏f偏y
再加上偏f偏z
再乘上偏z偏y
他也应该等于0
这就是非条件极值问题
那个极值点的必要条件
在这里面我们看一下
z关于x和z关于y的偏导数是什么
因为它是由这个等式确定的
那么我们根据隐函数的求导法
我们知道这个偏z偏x
应该就等于负的偏g偏x
再除上偏g偏z
类似的 这个z关于y的偏导数
应该等于负的偏g偏y
再除上一个偏g偏z
那我们把这两个导数的表达式
往这两个等式里面一代
我们就会得到这个关系
代到第一个等式里面去
我们会发现推出来的是
偏f偏x比上偏g偏x
应该等于偏f偏z再比上偏g偏z
也就是把x表达式代到第一个等式
我们移完项之后
会写成这个比值形式
把z关于y的偏导数
咱们代到第二个等式
整理以后我们会发现
是偏f偏y比上偏g偏y
应该等于偏f偏z再比上偏g偏z
那我们把这两个关系式整理一下
我们就推出了
在条件极值点这个地方
我们得到了偏f偏x
等 比上偏g偏x
等于偏f偏y比上偏g偏y
等于偏f偏z比上偏g偏z
当然在我们这个推导过程中
我们是说在一定条件下
那我们回过头来
看这个条件是什么
我们要从这个等式
得到这个函数
那么这个g(xyz)他应该满足
我们前面介绍过的
隐函数存在定理的条件
比如说他应该至少有一个解
其次他应该在某个范围上
具有一阶连续偏导数
同时他在相应的点
至少对某一个自变量的偏导数要不等于0
当然我们如果写成这个形式的时候
我们是不妨假设
他关于z的偏导数
在相应的点不等于0
我想这是对约束函数加的条件
接下来 我们在这个地方
做了复合函数求导运算
那他就应该满足
复合函数链导法则条件
比如说 我们要对目标函数f
加上可微 或者说加的再强一点
他具有一阶连续偏导数
那么 这个时候
跟约束函数的条件加在一起
我们就可以用链导法则
也就是说 我们得到条件极值点
满足的这个必要条件的时候
主要就是对约束函数和目标函数
加了具有一阶连续偏导数
二阶 约束函数的梯度
应该是不等于0的
好 说到梯度
那我们回过头来看一看
这个比值 这个比例式
这个比例式
根据我们前面梯度的计算式
我们知道 这个就是说的
f这个函数
他在条件极值点的梯度
应该是平行于这个目标函数
在条件极值点的梯度
所谓的平行 那么 也就是说
这两个向量肯定是线性相关的
这个也就是等价于在条件极值点处
这个梯度向量
加上λ倍的这个梯度向量
他应该是一个 0向量
是一个0向量
这就是我们得到的三元函数
在一个约束条件下
条件极值点要满足的必要条件
而我们把这个结论写成一个定理
我们条件极值点满足的必要条件
是这样子的
我们设函数f(xyz)和g(xyz)
都是具有一阶连续偏导数的函数
而且g(xyz)的梯度向量不会是0向量
那么如果x0y0z0这个点
是我们这个条件极值问题的解
那么在这一点处
目标函数f的梯度向量
与约束函数g的梯度向量
应该就是平行的
也就是说存在一个实数λ
使得这两个梯度向量
在这个线性组合下
是0向量
这就是我们得到的
条件极值点要满足的必要条件
从这个定理
我们自然可以看出
因为约束函数
他的梯度向量
根据梯度向量的几何意义
我们知道
他是要垂直于这张平面的
而这个条件说明
f的梯度向量与g(xyz)的梯度向量是平行的
所以说在条件极值点处
我们就得到了目标函数的梯度向量
应该是与约束条件
对应的这张曲面是垂直的
这个结论 我们可以直接推广到
一般的一个n元函数
在一个约束条件下的
条件极值点的情况
也就是说如果f是个n元函数
gx也是个n元函数
也就是说如果f是个n元函数
g也是个n元函数
那么f在g=0这个约束条件下的
条件极值问题的解
一定是满足在条件极值点处
f的梯度向量与g的梯度向量是平行的
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
