复合映射的微分法在线视频

我们已经知道什么叫映射的微分

接下来 我们来看一下

怎么样求映射的微分

我们这个地方主要介绍一下

复合映射 它的微分法

首先 我们看一下什么叫复合映射

也就是我们假设 u等于g x是一个

从Rn空间到Rk空间的映射

类似的 y等于f u是一个

从Rk空间到Rm空间的映射

如果我们这个映射 它的值域

与第二个映射它的定义域交集非空

这个时候 对Rn空间中的某些点x

我们得到的这个映射的值就有可能在

第二个映射的定义域里面

从而我们通过第二个映射就会得到

Rm中的一个唯一的向量与它对应

也就是说 在这个条件下

我们利用这两个映射

就会得到一个从Rn空间

到Rm空间中的新的映射

这个映射 就称为是

这两个映射的复合映射

我们记作 f g

中间这个运算符就叫f和g的复合

然后它在这一点

也就是求值的时候 就是f g x

实际上通过这个解释

我们知道 所谓的复合映射

就是把一般的复合函数的概念

推广到了空间中

我想这是关于复合映射的概念

有了复合映射的概念之后

那么如果我们知道 f和g这两个映射

那我怎么样利用它俩的微分

来求这个复合映射的微分

因为我们知道 微分运算实际上

主要牵扯到的应该就是Jacobi矩阵的计算

所以说 我们来求复合映射的微分

也主要的就是问

我怎样用原来这两个简单映射的Jacobi矩阵

得到这个复合映射的Jacobi矩阵

为此 我们给一个定理

设u 等于g x是一个

从Rn空间到Rk空间的映射

我们说这个映射是个k维映射

实际指的就是它的分量函数都是k维函数

我们再设y 等于f u是一个

从Rk空间到Rm空间的k维映射

我们的结论就是 则 f和g的复合映射

是一个从Rn空间到Rm空间中的k维映射

而且 这个复合映射的Jacobi矩阵

是等于f这个映射的Jacobi矩阵

与g这个映射的Jacobi矩阵的乘积

实际上 就是这个Jacobi矩阵之间的关系

与简单的复合函数的链导法则是一致的

从这个定理得到的结果我们可以看出

这个复合映射的Jacobi矩阵

它与原来两个映射Jacobi矩阵

之间的关系实际上

与原来我们得到的简单的

复合函数的链导法则是一致的

我们看一下这个结论为什么是对的

我们给出一个简短的证明

首先 我们看一下 f的Jacobi矩阵是什么

根据Jacobi矩阵的定义

它的Jacobi矩阵第一行

应该是它的第一个分量函数一阶偏导数

放到第一行 也就我们记成

偏f1 偏u1 偏f1 偏u2 一直到偏f1 偏uk

第二行类似的是它的

第二个分量函数的一阶偏导数放到第二行

我们直接写它的最后一行

最后一行 也就是第m个分量

它关于自变量的偏导数放到最后一行

偏fm 偏u2 然后偏fm 偏uk

这是f的Jacobi矩阵

我们再来看一下 g这个映射的Jacobi矩阵

也就是 它的Jacobi矩阵

它的分量函数

我们就用g1 g2到gk来表示

它的自变量 应该是Rn空间中的

我们就用x1 x2到xn来表示

所以写出来 应该就是一个

偏g1 偏x1 偏g1 偏x2

一直到最后一个是偏g1 偏xn

它的第二行当然是它的第二个分量函数

一阶偏导数放到第二行

我们直接写它的最后一行

最后一行就是它的第k个分量

它的偏导数放到最后一行

也就是偏gk 偏x1 偏gk 偏x2

一直到偏gk 偏xn

前面这个矩阵 我们知道

它应该是个m行k列的矩阵

后面这个矩阵 我们知道

它实际是一个k行n列的矩阵

接下来 我们看这两个矩阵乘起来是什么

这两个矩阵乘起来 也就是

J f乘上一个J g

首先 我们知道

它乘出来应该是一个m行n列的矩阵

所以说我们就在这里表示一下

它是一个m行n列的矩阵

接下来我们来看一下

这个乘积矩阵的第i行第j列的元素是什么

根据矩阵乘法的定义 我们知道

这个乘积矩阵的第i行第j列这个元素

应该是第一个矩阵的第i行

和第二个矩阵的第j列

它的对应元素相乘再相加

所以说我们直接把它的

第i行第j列的元素写出来

也就是偏fi 偏u1 乘上在这个地方

应该就是偏g1 再除上偏xj

再加上一个偏fi 偏u2

再乘上一个偏g2 除上一个偏xj

最后 加到最后应该就是一个偏fi

然后偏uk 这个地方就乘上一个偏gk偏xj

这就是这个乘积矩阵的第i行第j列的元素

好 最后我们看一下这个复合映射

它的分量函数是什么

复合映射 根据定义

它的求值应该是用这个表达式来求值

所以说 它的分量函数应该是这样子的

也就是f跟g它的复合

它的分量函数应该就是

f1 然后这里面是g1 x

g2 x然后一直到gk x

这是第一个分量

那么它的第i个分量自然就是

fi g1 x g2 x到gk x

最后一个分量 当然就是

它的fm 这个地方就是g1 x

g2 x一直到gk x

那现在 作一个映射

我们来求它Jacobi矩阵的第i行第j列元素

实际就是要求 它的第i个分量

关于第j个自变量的偏导数

也就是要求 偏这面是fi

这面是g1 x到gk x

关于xj的偏导数

那么 根据复合函数的链导法则

它关于xj的偏导数应该等于

偏fi关于第一个中间变量的偏导数

乘上第一个中间变量关于xj的偏导数

也就是这一项

那么再加上 fi关于第二个中间变量的偏导数

再乘上第二个中间变量关于xj的偏导数

实际上就是这一项

最后 加到最后应该是

fi关于最后一个中间变量的偏导数

乘上最后一个中间变量关于xj的偏导数

也就是这个

实际上也就是说 我们这两个矩阵乘起来

它的第i行第j列元素正好是这个复合映射

它的Jacobi矩阵的第i行第j列元素

当然我们就证明了这个矩阵不是别的

就是这个复合映射的Jacobi矩阵

这就是关于复合映射Jacobi矩阵的

一个简单证明过程

这里面主要用到了复合函数的链导法则

和Jacobi矩阵的定义

以及矩阵乘积运算的定义

好 我们前面给出了

复合映射的Jacobi矩阵的计算公式

接下来 我们简单看一下那个逆映射

所谓逆映射是这样子的

我们如果假设y就等于f x

它是一个从Rn到Rn空间的映射

然后 如果说它有逆映射 主要指的是

我们给了一个y的值之后

能找到唯一的x值与这个y对应

跟反函数它的记号一样

它的逆映射 我们记成是这个记号

也就是读作f的逆映射

就是 如果它是

就是原来这个映射的逆映射

也就是 是它的逆映射

那么 根据这个逆映射的概念

我们知道 映射和逆映射满足的关系

应该就是 它的逆

对这个f求值或者是作复合

它应该还是这个x

那接下来 我们就利用

复合映射的Jacobi矩阵 它的计算公式

如果我们两边求Jacobi矩阵的时候

这个地方 得出来的应该是

这个逆映射的Jacobi矩阵

乘上这个映射的Jacobi矩阵

而这边 这是一个恒等映射

它的Jacobi矩阵应该就是一个n阶单位阵

实际上 这就是我们得到的逆映射

跟原来这个映射 Jacobi矩阵之间的关系

实际上 也就是它们的Jacobi矩阵

是互为逆矩阵

这个我们直接用形式运算得到了这个结果

这也是我们在后边

计算逆映射Jacobi矩阵用的一个关系

好 最后我们来看两个简单的例子

第一个例子

我们如果假设 u是等于x方减y方

v是等于x乘y

这实际是一个从R2到R2空间的映射

我们再假设x就等于rcosθ

y等于rsinθ

这是一个从R2到R2空间的映射

现在我们求一求 偏u v 偏r θ

实际上也就是通过x y这个变量

我们把u v与r θ联系起来

这应该就是一个复合映射的概念

我们这个也就是要求

复合映射的Jacobi矩阵

那首先我们知道就是

映射 这个u v关于x y

它的Jacobi矩阵应该就是

u关于x y的偏导数放到第一行

那么也就是两倍的x 负的两倍的y

v关于x y的偏导数放到第二行

那么也就是y x

这就是这个映射的Jacobi矩阵

那么第二个映射的Jacobi矩阵

我们用偏x y 偏r θ来表示

它的第一行就是x关于r θ的偏导数

所以说应该就是cosθ 负的rsinθ

第二行 就是y关于r θ的偏导数

所以说应该是sinθ rcosθ

那么根据复合映射Jacobi矩阵的计算公式

我们知道 我们要求的结果

应该就是这两个矩阵的乘积

偏u x 偏x y 再乘上偏x y 偏r θ

那我们知道矩阵相乘

它出来的应该是一个两行两列矩阵

第一个元素应该是第一行

与这个第一列对应元素相乘再相加

那么就是两倍的xcosθ

再减掉两倍的ysinθ

第一行第二列元素应该是

这两个数跟这两个数

对应元素相乘再相加

也就是负的两倍的r xsinθ

再减掉两倍的r ycosθ

类似的 我们可以写出它的第二行元素

应该分别是y乘上cosθ

再加上x乘上sinθ

这个是一个负的r ysinθ

再加上r xcosθ

一般的 我们作复合映射做到这一步

这只是一个中间过程

原因是我们的x y与r θ的关系是已知的

所以说我们把x y与r θ的关系

代进去得到的就是

我们要求的Jacobi矩阵的最后形式

这一步请大家代进去进行化简

这是一个例题

最后一个例题 我们看一下

如果我知道一个从r θ到x y的映射

x等于rcosθ y等于rsinθ

我们求一求 当这个r θ

等于1 二分之π时

求一下偏r θ 偏x y

实际上我们给的映射是从r θ到x y

而我们求的Jacobi矩阵

是r θ关于x y的Jacobi矩阵

应该求的是它的逆映射的Jacobi矩阵

就这一个简单题目来说

当然大家可以有两种做法

一个做法是由原来这个映射关系

直接把它的逆映射求出来

从而得到逆映射的Jacobi矩阵

另外一个方法就是利用我们介绍的

映射跟逆映射Jacobi矩阵的关系

直接去求这个逆映射的Jacobi矩阵

在这儿 我们用第二种方法

所以我们就先求 偏x y 偏r θ

那么这个两行两列的矩阵

第一行元素 我们知道 就是cosθ

然后负的rsinθ

第二行元素 是sinθ rcosθ

如果我们考虑的是r等于1

θ等于二分之π这点的值的时候

也就是r等于1 θ等于二分之π

我们代进去

θ等于二分之π cosθ是零

r等于1 sinθ又等于1

所以这个应该是 0 负1 1 0

这是一个简单的二阶矩阵

那么我们要求的偏r θ 偏x y

在r θ分别是1和二分之π这个值时

就是求这个矩阵的逆矩阵

这个矩阵的逆矩阵

我们可以很容易地求出 是0 1 负1 0

我想这样 通过映射和逆映射之间的

Jacobi矩阵的关系

我们就得到了我们要求的这个Jacobi矩阵