可微的必要条件在线视频

好 前面我们给出了全微分的概念

从定义我们可以看到

如果对具体的函数

我们总是用全微分的定义去求全微分

应该是一件比较麻烦的事情

因为在前面 我们曾经介绍了这个函数

这个函数在二元函数里面

当然是一个简单函数

但即使是这个简单函数

我们用定义去求它的全微分

也是很麻烦的事情

那为此 我们给出一个一般的结果

这个结果也就是

函数在一点可微的条件

给出的是全微分计算公式

我们写成一个定理

这个定理是这样说的

若二元函数f(x,y)

在(a,b)这一点处是可微的

那么 这个函数在(a，b)这一点

关于x和关于y的一阶偏导数

都是存在的 而且

它在这一点全微分值就等于

它在这点关于x的一阶偏导数值

乘上dx 再加上

它在这点关于y的一阶偏导数值

乘上dy

也就是我们全微分里面

Δx Δy的组合系数

正好是这个函数在这一点的

一阶偏导数值

dx dy因为x y是自变量

所以说 dx就是Δx

dy就是Δy

那么从这个定理我们可以看出

在可微的前提下

全微分的计算问题实际上就转化成了

偏导数的计算问题

也就是在我们的全微分定义里面

自变量改变量的线性组合的组合系数

正好是这个函数在同一点

关于x和关于y的一阶偏导数值

所以有了这个结论之后

我们全微分的计算问题

从理论上就算解决了

下面我们给出这个定理的一个证明

因为 这个函数f(x,y)

在(a,b)是可微的

也就是 它在这点函数值的改变量

f(a+Δx,b+Δy)减掉f(a,b)

可以写成 这是AΔx加上BΔy

其中大A大B是与Δx Δy无关的数

它当然可以与(a,b)这一点有关

后面是一个小o

我们直接写成这个具体的形式

Δx的平方加上Δy的平方

那么我们是要说 这个时候

它的两个偏导数都存在

偏导数 我们考虑让Δy等于零

也就是我把y固定 只让x变

这时候我们就会得到

f(a+Δx,b)减掉f(a,b)

在这里面Δy等于零

也就等于A乘上Δx

这个地方也就是小o(Δx)

那么由这个关系式

我们直接就可以得到这个结论

在Δx趋向于零时

我们的f(a+Δx,b)减掉f(a,b)

除上Δx

也就是这部分除上Δx

A是与Δx无关的

所以说它的极限就是它自己

而后面这部分是Δx高阶无穷小

除上Δx之后极限自然是零

所以这样我们就得到了

这个比值的极限存在 就等于A

按照偏导数的定义 也就是说

它在(a,b)这点的偏导数存在

它的值就是A

类似的 我们如果令Δx等于零

那么这个表达式

自然就会得出这个样子 也就是说

我如果令Δy趋向于零的时候

我的f(a,b+Δy)减掉f(a,b)除上Δy

然后我们看一下 Δx等于零

这一项就是零

而这一项就直接成了Δy的高阶无穷小

所以说这个地方就变成了

B乘上Δy除上Δy的极限自然是B

Δy的高阶无穷小除上Δy的极限是零

所以这一个就等于B

所以我们就证明了

两个一阶偏导数都存在

那么根据微分定义 它说了

它在这点的全微分应该是

AΔx再加上B乘上Δy

也就是偏f偏x(a,b)乘上Δx

再加上偏f偏y(a,b)再乘上Δy

因为x y是自变量

所以它们的改变量

自然可以用它们的微分值来代替

这样我们就得到了我们要证的

全微分的计算公式

这是这个定理的证明

在这个定理的证明过程中

只用到了什么叫可微

什么叫偏导数

以及什么叫全微分

用的是基本概念

那有了这个结论之后

我们做一个例题

这个题目是这样子的

如果(x,y)不在原点取值时

我们这个函数是

x方乘上y除上x方加y方

如果(x,y)在原点取值时

我们把它取成零

对这个函数

现在我们来讨论它两个性质

一个就是讨论它的连续性

再一个是讨论它在原点是不是可微

我们做这两件事的时候

先说连续性

连续性大家看一下

因为f(x,y)的绝对值

也就是等于这个东西的绝对值

它实际上是小于等于y的绝对值的

那么在x y都趋向于零时

函数值自然是趋向于零

正好是趋向于它在原点的函数值

有了这个结论之后 我们就知道

这个函数在原点应该是连续的

第二个事情 我们来讨论它的可微性

怎么讨论

现在我们有了这个微分计算公式之后

我们可以这样来做

因为这个函数 它在原点的偏导数

我们用定义去求

那么求关于x的偏导数

就让y先等于零固定

很容易就看到这个偏导数它实际存在

它的值是零

我们再求这个函数在原点

关于y的偏导数

仍然用偏导数的定义

我们能求出来它也是等于零

有了偏导数值之后

我们结合着全微分的计算公式

我们现在是不是可以这样想

就是我们证明

这个函数在原点是否可微

就等价于证明这个函数

在原点的函数值的改变量

是不是等于这个

零乘上Δx加上零乘上Δy

再加上小o 就是

Δx平方再加上Δy平方开方

因为根据全微分的计算公式

如果它可微的时候

它的全微分Δx Δy的组合系数

一定是偏导数值

所以说可微的时候

这个等号一定成立

反过来 如果这个等号不成立

它一定是不可微的

那么对这个具体的函数来说

这个函数值的改变量

我们是可以求出来的

实际上改变量也就是

Δx的平方乘上Δy

再除上Δx的平方加上Δy的平方

它是不是等于这个距离的高阶无穷小

就是看它除上这个距离之后

是不是还是无穷小量

也就是在Δx Δy趋向于零时

现在的问题就是求这个表达式的极限

如果它是零说明这个等式成立

说明函数在原点是可微的

如果这个不等于零

说明这个等式不成立

也就是说它是不可微的

实际上 大家看一下

我只要令Δy和Δx相等

那么 下面出来的应该是

两倍的这个的平方再开方

那这个倍数我们不看

我们只看这个Δx的方次

出来的应该就是

Δx的绝对值的三次方这个量次

上面Δx和Δy相等的时候

出来的也是Δx的三次方这个方次

这样子的时候 大家知道

无论如何 在这种情况下

这个极限是不会等于零的

也就是说 我们这样做

考虑Δx趋向于零Δy等于Δx时

上面出来的应该是Δx的三次方

底下出来的应该是一个二倍根下二

这个是Δx绝对值的三次方

这个极限我们知道在

Δx趋向于零时是不等于零的

这样就证明了这个等式不成立

所以函数在原点是不可微的

实际上这个例题的考虑方法

也是我们处理简单函数

在一点是否可微的一个常用方法

也就是说 有了全微分

与偏导数的关系之后

我们考虑一个函数是否可微

先利用偏导数值

把它的线性组合部分给找出来

去看一看 就是说 函数值的改变量

减掉这个自变量改变量的线性组合部分

是不是距离的高阶无穷小