方向导数的计算在线视频

好 前面我们介绍了方向导数的概念

接下来 我们介绍一下

方向导数的计算

关于方向导数的计算

我们给出一个结论

写成一个定理

若函数f(x,y)在点(a,b)处可微

那么这个函数

在点(a,b)沿任意方向l

它的两个分量分别是

cos α和sin α

沿着这个方向的方向导数

是存在的

而且它在这点

沿着这个方向的方向导数的大小

就等于它在这点关于x的偏导数值

乘上方向向量的第一个分量 cos α

再加上它在这点关于y的偏导数值

乘上方向向量的第二个分量

也就是乘上sin α

从这个定理我们可以看出

也就是说 可微

实际上就保证了函数在一点

沿着任意方向的方向导数

一定是存在的

而且 从这个计算公式

我们可以看出

实际上算函数在一点的方向导数

只与它在这点的偏导数

和我们考虑的哪一个方向有关

所以这个计算公式

应该是一个非常好用的

方向导数的计算公式

现在 我们证一下这个结论

也就是说 我们要证明什么

实际上 在这里面

我们有两个

一个是方向导数的存在性

再一个就是方向导数的

计算公式

实际上我们在证明的时候

从可微的概念出发

及证明了存在性

同时也会给出

方向导数的计算公式

因为我们的条件是这样子的

因为f(x,y)在点(a,b)处是可微的

所以说 根据可微的定义

我们就会得到 这是

这个函数在

a加上t cosα

b加上t倍的 sinα

这点的值

减掉f(a,b)

也就是这两点函数值的差

它应该就可以写成

偏f(a,b) 偏x

乘上t倍的cosα

再加上偏f 偏y

在(a,b)这点的值

再乘上t倍的sinα

后面应该是加上

这两点距离的高阶无穷小

而这两点的距离

它的高阶无穷小

实际上就是t的高阶无穷小

这是利用可微的概念

我们直接得到的

也就是函数值的改变量

应该等于它的全微分

再加上两点距离的高阶无穷小

那什么是方向导数

方向导数 也就是看一下

t趋向于0时

我们这个比值的极限

也就是它在这一点的值

减掉f(a,b)再除上t

那么

我们把上面这个关系式代进来

它也就是等于t趋向于0时

考虑这个极限 偏f 偏x

在(a,b)这点的值

把t除掉 这就是cosα

再加上偏f 偏y

在(a,b)这点的值

把t除掉 这就是sinα

后面再加上一个o(t)除上t

因为前面这两部分与t无关

所以说t趋向于0的极限

自然就是它自身

后面这一项

根据高阶无穷小的定义

它的极限应该是0

所以这样我们就得到了

这个极限值就是

偏f(a,b) 偏x 乘上cosα

再加上偏f 偏y

在(a,b)这点的值 乘上sinα

那由这个极限等于它

我们既说明了函数在这一点

沿着这个方向l

它的方向导数存在

同时也给出了这个表达式的值

就是它的方向导数的值

所以这样我们就证明了这个结论

从这个定理我们就会发现

实际上方向导数的计算问题

又归结成了偏导数的计算问题

而偏导数的运算

我们已经前面介绍过

知道对一般的函数来说

偏导数运算应该是没有太大困难

这样方向导数的计算问题

我们不仅有一个理论结果

也有一个可行的方法

当然从这个定理

我们能够知道

可微 是一个比方向导数存在

强得多的性质

现在我们问一个问题

大家可以想一下

如果我们知道函数在一点

沿着任意方向的方向导数

都是存在的

你能不能推出函数在这点

是可微的

这是一个问题

第二个问题 我们问这样的问题

如果函数在一点 它并不是可微的

我们能不能说

函数在这一点它的方向导数

是存在还是不存在

或者说 我们换一个问法

如果函数不可微的时候

在它偏导数存在的前提下

我们给一个方向

仍然可以求这个表达式的值

那么这个时候

这个表达式的值的大小

与它在这点沿着这个方向的方向导数

有没有关系 或者是什么关系

我再重复一下

我们问题是两个方面

也就是说 如果函数在一点

沿着任意方向的方向导数都存在

我们能不能推出函数在这点可微来

另外一个方面就是说

当函数在一点不可微时

我们用这个计算公式得到的

这个表达式的值

与它在这点沿着相应方向的方向导数

是什么关系

好 最后 我们举一个简单的例题

我们考虑 函数f(x,y)

等于x方乘上y 再加上xy

现在我们考虑这个函数在这一点

横纵坐标都是1

然后我们给三个方向

l1这个方向就是 分量是3和2

l2这个方向 分量是1和5

l3这个方向 分量是-2和3

我们就求这个简单的二元函数

在1这一点沿着

这三个方向的方向导数的大小

因为这个函数 大家知道

它在这点偏导数

我们很容易求出来

也就是在1这点偏导数

关于x求偏导

也就是2倍的xy再加y

那么xy 都取1的时候

这应该就等于3

关于y的偏导数

在这一点的值 在1点的值

我们也可以求出来

它关于y的偏导数就是

x平方加x 所以说

在这点的值应该是2

那么我们在

方向导数的计算公式里面

大家注意

我们的方向向量是单位向量

所以说 我们第一个

偏f 偏l1 在(1,1)这一点方向导数值

应该是等于这样子的

3乘上这个单位化之后的第一个分量

它的长度是根号下13

所以说应该乘上根号下13分之3

再加上这个偏导数 就是2

再乘上这个单位化之后的

第二个分量

应该是2除上根号下13

当然大家做出来之后

结果就是根号下13

第一个方向导数

第二个方向导数

偏f 偏l2 在(1,1)这一点方向导数值

这一个我们给它单位化

单位化之后就是大家看

它的长度应该是根号下26

也就是等于

关于x的偏导数在这点的值

乘上单位向量的第一个分量

也就是根号下26分之1

再加上关于y的偏导数在这点的值

再乘上单位化之后的第二个分量

应该是5除上根号下26

那大家做一个简单的加法

就会得到这个结果

最后一个

关于第三个方向的方向导数

l3 也是在(1,1)这点

这一个我们给它单位化之后

它的长度还是根号下13

所以最后应该是

关于x的偏导数在这点的值

乘上单位化之后的第一个分量

应该是负2除上根号下13

再加上关于y的偏导数

在这点的值 就是2

再乘上这个向量

单位化之后的第二个分量

也就是3除上根号下13

那大家可以看一下

这个正好正负抵消掉

这就是要求一个简单函数

在给定点沿着一个具体的方向

它方向导数大小的方法