复合函数求导数（举例）在线视频

好 我们已经给出了在不同条件下

复合函数求偏导数运算的有关结论

接下来 我们就利用所谓的链导法则

来求几个具体的

复合函数的偏导数问题

第一个例题

我们假设f(u,v)

就等于u方加上v方减一

其中 u就等于x倍的e的y次方

v就等于两倍的x加y

现在我们假设由这三个函数

得到了一个复合函数

我们来求一求偏z偏x和偏z偏y

因为u v这个函数

是一个简单的多项式函数

所以说 它在每一点都是可微的

而u v关于x y的函数

也都是初等函数

所以说它们的可微性也是没问题的

那么在这个题目里面

我们知道我们直接就利用链导法则

来求这两个偏导数就行了

所以我们解的时候

偏z偏x应该等于偏f偏u

也就等于两倍的u

再乘上偏u偏x

也就是e的y次方

再加上偏f偏v

也就是两倍的v

再乘上偏v偏x

也就是乘上一个2

最后我们把u v与x y的关系代进去

也就是两倍的x e的2y次方

再加上一个四倍的

括号里面是2x加y

这就是这个复合函数

关于x这个自变量的偏导数

同样的 我们可以得到

偏z偏y 它就等于偏f偏u

也就是两倍的u

乘上偏u偏y

也就是x倍的e的x次方

再加上偏f偏v 两倍的v

再乘上偏v偏y 就是乘上一

当然 大家也可以把u v

与x y的关系代进去

就会得到最后的表达式

我想 这就是简单的复合函数

怎么样利用链导法则来求偏导数

第二个例子

我们看一下

如果是这样子 就是说

z等于f(x+y,x-y)

而且我们这个函数是一个可微函数

我们怎么样来求z关于x的偏导数

实际上 这个就直接用

复合函数的链导法则就行了

因为外层函数f是可微的

而里面中间变量分别是

u等于x加y和v等于x减y

所以说 我们如果用这个

u表示x加y v表示x减y

那么偏z偏x就等于

偏f偏u 乘上偏u偏x 就是一

再加上偏f偏v 乘上偏v偏x 还是一

偏z偏y就等于一个

偏f偏u 乘上偏u偏y 是一

再加上偏f偏v 乘上偏v偏y 是负一

所以我们这个地方就是减号 乘上一

其中 这个偏导数

应该是在相应的点

u等于x加y和v等于x减y

这个地方取值

这也是简单复合函数

直接用链导法则求

我们看第三个例题

也就是z等于f(xy,x/y)

也就是f是个二元函数

而在它的变量位置上

出现的不是自变量 而是表达式

我们的条件是

f这个函数是具有

二阶连续偏导数

加上这个条件

现在我们来求

偏方z偏y偏x

求它的二阶混合偏导数

我们做的时候 我们还是记

u就表示x乘y

v就表示x除y

那么 我要求二阶混合偏导数

必须先求偏z偏x

这个一阶偏导数

那么根据复合函数的链导法则

也就是偏f偏u 乘上偏u偏x 是y

再加上偏f偏v 再乘上

偏v偏x 应该就是y分之一

其中 偏导数是在(u,v)这一点取值

那我们求二阶混合偏导数

偏方z偏y偏x

也就是对这个表达式

关于y再求偏导

对于第一部分

理解成两个因子相乘求偏导

那么y关于y求导 是一

第二个不动 也就是偏f偏u不动

再加上y不动

这一个 关于y求偏导

这时候请大家注意

它的变量是u v

所以说 这仍然是个复合函数

然后我们求的时候用链导法则

也就是 乘上它先关于u求偏导

这个地方乘上u关于y求偏导

u关于y求偏导是x

再加上我们这个函数关于v求偏导

这就是先u后v的二阶混合偏导数

再乘上v关于y求偏导

应该乘上的是一个

负的y方分之x

这就是这一项关于y的偏导数

后面这一项类似的处理

我们先对它求导

也就是减掉y方分之一

另外一个项不动

再加上y分之一不动

这一项关于y求偏导

仍然利用复合函数的链导法则

我们会得到

偏方 就是 偏u偏v

再乘上偏u关于y求偏导 是x

再加上偏方f偏v方

再乘上v关于y求偏导

应该是一个 乘上负的y方分之x

那最后 大家整理一下

因为我们给的是

f具有二阶连续混合偏导数

所以说 这一个混合偏导数的值

与这个混合偏导数的值

应该在同一个点是相等的

根据这个性质

这个表达式可以做一点点化简

这个请同学们作为练习

做一个化简

这是第三个例题

最后一个例题 我们来看一下

如果我们这个函数

f(x,y)是z等于这个函数

它是可微的

现在我们要把这个东西

也就是偏f偏x平方

加上偏f偏y的平方

这是一个表达式

把这个表达式化成是极坐标形式

这个问题指的是

就是说 它本来是在

直角坐标系下的一个代数表达式

那我们相当于做了坐标变换

或者叫变量替换

最后把对x和y的偏导数

转化成关于极坐标r和θ的偏导数

那我们做这个问题 也就是这样

z等于f 根据直角坐标与极坐标的关系

我们可以写成 这就是r乘cosθ

这个地方就是r乘sinθ

所以说 我们两边关于r求偏导

应该就等于

偏f偏x x关于r求偏导 就是cosθ

再加上偏f偏y

再乘上y 关于r求偏导 就是sinθ

类似的 我们偏z偏θ

也就等于偏f偏x

x关于θ求偏导

应该乘上负的r倍的sinθ

再加上偏f偏y

y关于θ求偏导 也就是乘上rcosθ

那我们为什么想到 就是

在这个地方关于r和θ求偏导

因为只有这种运算

我们才有可能

把f关于直角坐标x y的偏导数

与我们最后的复合函数

关于极坐标r θ的偏导数联系起来

在这里面 我们把

偏f偏x 偏f偏y作为未知量

这应该就是一个线性方程

然后我们把这个线性方程解出来

偏f偏x应该就等于偏z偏r 乘上cosθ

再减掉偏z偏θ

乘上r分之一倍的sinθ

类似的 我们另外一个未知量偏f偏y

也能做的出来

它应该等于偏z偏rsinθ

再加上一个偏z偏θ

乘上r分之一倍的cosθ

那我们看一下

在这个等式两端我们做平方求和

那么左边出来的就是这个表达式

而右边我们有这个平方和

加这个平方和

用cos方加sin方等于一

所以说 它出来了一项

就是偏z偏r的平方

然后第二项

这个的平方跟这个的平方

我们仍然利用sin方加cos方等于一

我们会出来这一项

就是r方分之一偏z偏θ的平方

最后我们做平方的时候

这个交叉乘积项

是一个负的两倍的

这一项跟这一项的乘积

而这一个的交叉乘积项

应该是正的两倍的

这一项跟这一项的乘积

而这两项正好是互为相反数

一正一负 加起来消掉

所以最后

我们把这个直角坐标系下的

表达式转化成极坐标下

应该就是这个形式

实际上 这个例题主要是想告诉大家

就是我们有了坐标变换之后

我们可以利用复合函数的微分法

将带有导数运算的表达式进行变形

如果刚开始我们的形式

并不熟悉的时候

我们可以进行变换

当然 一般要对这个问题做一定的分析

知道选什么样的坐标变换

才能化简