当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第三章重积分 > 第三节 极坐标系及一般坐标系 > 二重积分的计算：极坐标系
好 我们讲过了坐标变换
对二重积分的影响
我们来看看一个特殊的坐标变换
极坐标系变换
对二重积分的影响
我们知道所谓极坐标变换
就是这么一个变换
x等于ρcosφ
y就等于ρsinφ
我们当然对ρ和φ要给出一定的范围
通常呢是ρ是大于零
φ呢就不一定了
有的时候就可以写成是负π到正π
有的时候可以写成从零到2π
反正是转一圈就可以了
而我们也已经算过
x y对ρφ的Jacobi行列式的
绝对值就等于ρ
所以一个直角坐标系下的二重积分
就可以变成一个极坐标系下的二重积分
dρφ呢表示这个区域
在极坐标系下的表达形式
复合函数ρcosφ ρsinφ
dρdφ这是面积元素
要注意还要乘上一个ρ
这个千万千万不要漏掉
所以这就是一个
直角坐标系下的一个二重积分
在极坐标变换下
变成了极坐标系下的二重积分
那么在这个二重积分里面
我们当然非常非常关心
这个区域是不是会改变
因为其余的这些东西都已经是给定了
那么区域是怎么改变的
我们来看看 直角坐标系下
某些区域在极坐标系下是如何表示的
第一种区域 如果说直角坐标系下
有这么一种类型的一个区域
这是x 这是y
我们给两条特殊的直线
你看 这是极限的情况下
我们把这个角叫做α
这个角叫做β
那么我们这么一个xy平面上的区域
我们写成ρ 极坐标系下呢
可以写成(ρ，φ)
φ呢正好是大于等于α小于等于β
你看 从α到β
ρ从哪开始呢
φ在α β之间任意一个φ
我们找一条线
是不是总有一个进去的
然后呢 这是在区域里面
是不是还有一个就出来了
我们把进去的那个点叫做是ρ1(φ)
ρ呢就等于ρ
也就是下面这条线叫做
ρ等于ρ1(φ)
上面那条曲线呢
我们把它叫做ρ等于ρ2(φ)
显然ρ1是进去的ρ2是出来的
所以ρ1小于等于ρ2
这是天经地义的
所以呢 ρ的范围是
ρ1（φ）小于等于ρ2（φ）
那么这就是d这么一个
在直角坐标系下这么一个区域
在极坐标系下的表达形式
好 我们再换一下
假如说D呢在直角坐标系下
是这么一个区域
刚才那个区域呢
直角坐标系的原点是不是在区域外边
现在呢这个原点在区域边界上
我们仍然给两条线
一条线呢是这条线
这个夹角呢叫做α
一条线是上面这条线
这个夹角叫做β
这是D区域
那么同样这个D区域在极坐标系下的表示
我们可以这么来表示(ρ,φ)
φ呢大于等于α小于等于β
φ呢还是在αβ之间
我在αβ之间随意的找一个角
找一条射线出去
你会发现每一个点
是不是都从原点出发
然后呢 这后面就出去了
所以呢 我们把最外头那条曲边的边界线
我们在极坐标系下的方程我们给出方程
ρ呢就等于ρ(φ)
那么我们可以知道
D区域它的变换范围
ρ呢是从零到外边界
所以呢大于等于零小于等于ρ(φ)
这是第二种类型的
我们再来看看第三种类型
第三种类型呢
它就是绕着原点走
我们把这个叫做D区域
这种类型呢 原点是在D区域的内部
那么这个类型如果说写成极坐标形式下的话
就是(ρ,φ)
φ呢是不是从零到2π转一圈
φ呢是大于等于零小于等于2π
0到2π转一圈
这时候我随意的找一个夹角
我们找一个射线出去
那么这个是跑到外头去的
所以ρ的范围呢
是从零到外头那条边界
这条边界呢 我们又给一个名字
叫做ρ等于ρ(φ)
所以ρ呢是大于等于零小于等于ρ(φ)
所以根据原点在区域的外部
原点在区域的边界上
原点在区域的内部
那么这个在极坐标系下
这个区域的表达形式完全是不一样的
我们以这个东西 以这个为例
我们来看看在这个区域上的二重积分
化成极坐标系之后是怎么改变的
在D区域上的f(x,y)dxdy的二重积分
化成极坐标系的话我们可以知道
φ的变化范围是从零到2πdφ
ρ的变化范围呢是从零到ρ(φ)
被积函数呢是一个复合函数
x呢等于ρcosφ ρsinφ
我们知道面积元素之间
还差一个比例因子是ρdρ
这一个就是我们第三种直角坐标系下
第三种区域它在极坐标系下
化成二次积分的一个方法
我们可以知道
φ是不是从零到2π么
零到2π
ρ呢是零到ρ(φ)
零到ρ(φ)
ρ(φ)是什么东西呢
就是这个区域的它的边界线
f呢是一个复合函数
x等于ρcosφ
y等于ρsinφ
乘上ρ
为什么要乘上这个ρ呢
我们讲过面积元素之间
是不是就有一个比例因子
乘上ρdρ
如果说你要愿意的话
那么在这个区域下
这种区域下
我们也可以找一个
把一个直角坐标系下的二重积分
化成极坐标系下的二次积分
我们再找一个题算看一看
在D区域上f(x,y)dxdy
我们现在这个D区域
你看φ的变化范围是不是从α到β
从α到βdφ
ρ的变化范围就是从零到ρ(φ)
从零到ρ(φ)
f呢是一个复合函数
x等于ρcosφ
y是ρsinφ
乘上ρ 这个千万不能忘记 dρ
所以无论什么样的一个直角坐标系下的区域
原点在外面
原点在边界
原点在内部
都可以通过
极坐标系的坐标变换
把它写成极坐标系下的二次积分
-第一节 多元连续函数
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