当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第一章 多元函数微分学 > 第四节 多元函数的微分法 > 隐函数组求导法
好 接下来我们介绍一下
有关隐函数组的求导法
关于隐函数组
我们的问题是这样子的
也就是说
如果我有两个函数
F(x,y,z)和G(x,y,z)
现在我们来看一下
由这两个三元函数
得到的一个方程组
也就是F(x,y,z)等于0
和G(x,y,z)等于0
那么这是三个未知量满足两个方程
我们知道
如果我给定了一个未知量
也就是说我给定了
比如说x的值
这就是y z两个未知量
满足的两个方程
如果我们条件合适时
这里面就可以把y和z解出来
当然这个方程组是与x的值有关的
所以我们得到的y z的值
应该也与x有关
实际上 所谓的隐函数组
这应该就是一个最简单的情况
就是说 三个未知量满足两个等式
当给定了一个未知量的值之后
另外两个变量就可以用它来表示
就得到了两个一元函数
现在我们所谓的
隐函数组的求导法
首先要解决一下
就是当这两个三元函数
满足什么条件时
这个方程组能够确定隐函数组
同时我们还要问
当这个F G两个函数
满足什么条件时
我们得到的这两个一元隐函数
它是有导数的
而且它的导数该怎么去求
那我们所谓的隐函数组的求导法
主要的就是解决了这件事情
关于这个结论我们写成一个定理
定理
设函数F(x,y,z)和G(x,y,z)
满足下面三个条件
第一个条件 就是
存在一个点(x0,y0,z0)
使得在两个函数
在这一点的值都等于零
第二个条件 就是
这两个三元函数
在(x0,y0,z0)的某个邻域内
是具有一阶连续偏导数
第三个条件 也就是由
F关于y z的一阶偏导数放到第一行
G关于y z的一阶偏导数放到第二行
构成的这个二阶行列式的值
在(x0,y0,z0)这个点是不等于0的
当这三个条件满足时
我们就会得到下面三个结论
第一个结论就是由
F G等于零这个方程组
在x0的一个邻域内
可以唯一的确定两个一元函数
y等于y(x)和z等于z(x)
而且这两个一元函数
在x0点的函数值分别是y0和z0
第二个结论就是说
我们确定的这两个一元函数
y等于y(x)和z等于z(x)是连续函数
第三个结论就是
我们确定的这两个一元函数
y等于y(x)和z等于z(x)
它应该具有一阶连续导数
而且y关于x的导数是由
这两个二阶行列式的比确定的
分母的行列式就是
F G关于y z的偏导数
分别放到第一行第二行构成的
而分子这个二阶行列式
就是F G分别关于z和x的一阶偏导数
放到第一行第二行构成的
z关于x的偏导数
也是等于两个二阶行列式之比
分母上的行列式仍然是
F G这两个函数关于y z的偏导数
分别放到第一行第二行构成的
而分子是F G这两个函数
关于x y的一阶偏导数
分别放到第一行第二行构成的
这个二阶行列式的值
实际上
关于这个隐函数组的存在定理
与我们前面讨论过的
隐函数的存在定理是相仿的
也就是说这两个三元函数
同时满足这三个条件
第一个条件 我们知道
它说的主要就是这个方程组有解
第二个条件
它是对这两个三元函数
加上了 在某一个邻域内
具有一阶连续偏导数
这个条件
而第三个条件
实际上 它要求我们
由这四个一阶偏导数在这一点的值
得到的这个二阶行列式的值
是不等于零的
这个与 隐函数存在定理里面
那个 关于某个变量的偏导数
在指定点不等于零
是类似的
在这三个条件下
我们得到了相应的三个结果
第一个结果就是说
这个x y z三个未知量
满足两个方程的方程组
能够在x0的某个邻域内
唯一地确定两个一元函数
一个就是y是x的函数
再一个是z是x的函数
而且这两个一元函数
在x0这一点的函数值
正好是y0和z0
这是第一个结论
第二个结论就是说
在给定条件下
我们这两个一元函数
都是连续函数
实际上这个连续
是在它有定义的地方
就是连续函数
而第三个结论是说了
我们这两个一元函数
不仅是连续的
而且还具有一阶连续导数
而这两个一元函数它的导数
是由这两个三元函数的东西确定的
比如说y关于x的偏导数 就是
我们这个二阶行列式的值做分母
上面是由四个一阶偏导数
得到的一个二阶行列式
分别是F关于z
和关于x的偏导数放到第一行
而G关于z 关于x的
偏导数放到第二行
构成的二阶行列式的值
而z关于x的导数
它就等于这两个二阶行列式的值的商
分母上还是跟
y关于x导数分母上的行列式是一样的
分子上就是F关于x 关于y的
偏导数放到第一行
而G关于x和关于y的
偏导数放到第二行
构成的二阶行列式的值
实际上 我们在求隐函数组的偏导数时
我们一般不会记这个求导公式
我们的处理方法就是这样子的
作为一个注意事项
我们看一下
也就是F(x,y,z)等于零
G(x,y,z)等于零
我们在等式两端关于x求导
主要到y z是x的函数
我们就会得到偏F 偏x
加上偏F 偏y再乘上dy dx
再加上偏F 偏z再乘上dz dx
等于零
这就是第一个方程两端
关于x求导 我们得到的关系式
类似地 在第二个方程两端
关于x求导
我们就会得到偏G 偏x
再加上偏G 偏y 乘上dy dx
再加上偏G 偏z再乘上dz dx
它等于零
这样我们把我们要求的偏导数
dy dx和dz dx作为未知量
大家知道 这是关于
这两个未知量的一个线性方程组
线性方程组我们当然会求解
就是最简单的方法
我们不妨用消元法求解
解出来之后就是我们得到的
这两个导数的表达式
所以说 我们真正
求隐函数组的导数的时候
我们总是在方程两端
关于自变量求导
最后解一个线性方程组
我想这是这个求导公式
有了这个结论之后
那大家最后做一个练习
这个练习 就是这样子的
如果我们x加y加z加上u加上v
等于1
而我们的
x方加y方加z方加u方加上v方
等于2
实际上 我们是有两个方程
但是是有五个变量
我们假设这里面
x y z是自变量
也就是给定了x y z之后
它就变成了u v的这两个变量的
满足的两个方程
我们假设它能够确定
u是等于u(x,y,z)
一个三元函数
v是等于v(x,y,z)
也就是说 这两个方程
可以确定两个三元函数
那请大家求一求
偏u 偏x 和求一求偏v 偏x
作为练习
大家看我们能不能做出这个结果
实际上 做多元隐函数组的求导
和一元隐函数组的求导
在方法上没有任何差别
所以我们只要会求
隐函数的导数
我们自然也就会求
隐函数组的导数
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
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--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
