当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第二章 多元函数微分学应用 > 第三节 多元函数的条件极值 > 条件极值问题的Lagrange解法
我们在求解条件极值问题时
如果仅仅是依赖于所谓直接法
它对约束函数的要求是非常高的
也就是说
只有当约束函数非常简单时
我们才可能从约束条件里面
把变量之间的关系
转化成一个显式函数
从而代到目标函数里面去
把条件极值问题
转化成了非条件极值问题求解
在一般的
我们讨论多元函数条件极值问题时
约束函数往往是比较复杂的
这时候 我们就不可以用
所谓的直接解法
来求解这样的极值问题
一般的 我们求解条件极值问题
是根据咱们前面介绍的
条件极值点满足的必要条件
我们构造一个所谓的辅助函数
也就是拉格朗日乘子函数
通过拉格朗日乘子函数
得到可能的条件极值点
再根据其他情况来判断
得到的点是还是不是
我们要得到的条件极值问题
所以一般的求解方法
应该就是拉格朗日乘子法
比如说 我们对一个函数
在一个约束条件下
它的条件极值问题
也就是 我们要考虑
譬如说一个简单的二元函数
在一个约束条件下
它的条件极值问题
那我们这个时候
就可以做这样的辅助函数
L(x,y,λ)也就等于
f (x y)再加上λ倍的g (x y)
也就是利用目标函数
和约束函数做个线性组合
得到了一个新的函数
这个λ我们就称作拉格朗日乘子
最后 我们就解
这个函数L关于x的偏导数
让它等于零 然后
L关于y的偏导数等于零
再解L关于λ的偏导数等于零
就解这个方程
这个方程我们具体写一下
也就是要解这个方程
即 关于x的偏导数
就是偏f偏x
加上λ倍的偏g偏x等零
第二个关于y的就是
偏f偏y加上λ倍的偏g偏y等零
关于λ的偏导数
自然就是g(xy)等于零
实际上我们回忆一下
我们在介绍
条件极值点的必要条件的时候
我们已经得到了
在条件极值点处f(xy)的梯度向量
与g x y的梯度向量是平行的
所以说前面这两个等式
就是说的在条件极值点处
目标函数与约束函数的梯度向量平行
而后面这个方程自然指的是
这个点要满足约束条件
所以说 如果我们构造
这样的一个三元函数
那么它的偏导数等于零
正好可以得到
可能的极值点是什么
当然在求条件极值问题时
我们解出这个方程组来
得到了x0 y0
那这个x0 y0
是不是我们要的那个条件极值点
一般的我们可以从问题本身去判断
比如说 这是一个具有实际背景的问题
你知道在实际情况下
它一定是有最大或最小值的
而我们在求解的过程中
又只有一个 那这个
可能就是那个你求的最大
或者是你要求的最小
当然 如果这个实际问题
既有最大又有最小
这时候我们正好求出两个点来
那么对应的目标函数
函数值大的那就是那个极大值点
目标函数值小的那个点
那自然是极小值点
实际上我们在做条件极值问题时
一般的 我们不从理论上
去进行去判断它是不是极值点
因为如果要从理论上去判断的时候
实际上我们是从理论上
来判断一个三元函数
它的驻点是不是极值点的问题
尽管理论方法是有的
但是具体判断的时候
要牵扯到它们的二阶偏导数
就是计算量 就是非常大
所以一般的
我们做条件极值问题时
都是根据这个实际问题去做判断
只是二元函数
在用一个约束条件下
我们怎么去构造拉格朗日乘子函数
类似的 如果我们考虑的
是一个三元函数
它也是只有一个约束条件的时候
那我们跟二元函数类似
我就可以构造这个拉格朗日乘子函数
它就等于f (xyz)加上λ倍的g(xyz)
最后我们就求解
这个方程组
也就是偏L偏x=0
偏L偏y等于0
偏L偏z等于0
偏L偏λ等于0
如果大家具体
把这个偏导数求出来
你就会发现 实际上我们就
又讨论了在这个条件极值问题时
条件极值点满足的必要条件是什么
目标函数与约束函数的梯度向量是平行的
就是满足前三个方程
最后这个方程仍然是约束条件成立
我想这是对三元函数
带有一个约束条件的
那如果我们碰到的条件极值问题是
三元函数f x y z带有两个约束条件
g x y z等于零 h x y z等于零
这个时候我们怎么构造
拉格朗日乘子函数
我们这样 令L(xyzλμ)就等于
f(xyz)加上λ倍的g(x y z)
再加上μ倍的h(x y z)
这就是我们的拉格朗日乘子函数
因为有两个约束函数
所以说 我们引进了两个乘子
最后我们要来求解这个方程组
求解 就是
偏L偏x要等于零
偏L偏y等于零
偏L偏z等于零
偏L偏λ等于零
偏L偏μ等于零
这是偏λ 偏λ
就是这样我们得到的时候
实际上 前面三个偏导数等于零
就是我们前面得到的
在 一个目标函数
在两个约束条件下的
条件极值点应该满足的必要条件
实际上拉格朗日乘子法
可以推广到一般的n元函数
如果我的目标函数是一个n元函数
而我的约束条件是有k个
k当然是大于等于1
小于等于n-1的
那么我就可以引进
k个拉格朗日乘子
利用目标函数f
与第一个拉格朗日乘子
乘上第一个约束函数
再加上第二个拉格朗日乘子
乘上第二个约束函数
一直到加上第k个拉格朗日乘子
乘上第k个约束函数
这样就会得到
一个所谓的n+k维的
就是n+k元的多元函数
让这个多元函数
关于它的自变量的偏导数等零
就能得到我们条件极值点
那个可能的值
或者说就能得到可能的条件极值点
关于拉格朗日乘子法
是咱们在微积分里面
处理条件极值问题时
最一般的方法
一般来说能够用直接法的总是特殊问题
而一般问题就选要用拉格朗日乘子法
相对于直接法来说
直接法是把一个多元的
条件极值问题转化成一个低元的
非条件极值问题
而拉格朗日乘子法是把一个
多元的条件极值问题
通过引进新的自变量的方式
变成一个更高元的
函数的非条件极值问题
所以说 如果通俗地讲
直接法可以称为降元法
而拉格朗日乘子法可以称为增元法
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
