隐函数求导法（举例）在线视频

好 前面我们已经介绍了

隐函数的求导法

接下来

我们就利用隐函数的求导法

来做几个具体的题目

我们第一个例子

我们假设

函数z等于f(x,y)

是由这个方程确定

也就是z的x次方

等于y的z次方

由这个方程确定

那我们看一看

求这个函数它关于x的偏导数

和求这个函数它关于y的偏导数

那我们做的时候 我们就利用

刚才介绍过的 就是说

我们就在这个方程两端求微分

求微分的时候 我们这个左边

首先 它如果关于x求导的时候

我把z当成是常数

这就是一个指数函数求导

所以作微分 我就可以得到

z的x次方 乘上lnz

这边是dx

如果我关于z求偏导时

x就是常数

所以说它关于z的偏导数

应该就是个幂函数求导

也就是x个z的x-1次方

这是dz

这样左边我就做完了

右边 那我如果关于y求偏导的时候

z就是常数

这应该就是个幂函数求导

是 z倍的y的z-1次方dy

再加上我关于z求偏导

那y就是常数

所以这又是一个指数函数求导

y的z次方lny dz

好 由这个方程

我们可以把dz给求出来

也就是dz应该就等于

dx的系数是z的x次方lnz

再除上y的z次方lny

再减掉x倍的z的x-1次方

这是dx

然后dy的系数有一个负号

这是负的z倍的y的z-1次方

再除上y的z次方lny

减掉x倍的z的x-1次方dy

我们得到了

这个全微分的表达式之后

我们知道 dx的系数

就是我们要求的z关于x的偏导数

然后 dy的系数

就是我们要求的z关于y的偏导数

这样我们就把这两个偏导数求出来了

这是利用我们两边做微分的方式

接下来我们来看第二个例题

第二个例题 我们假设一个函数

就是F(u,v)它是具有一阶连续偏导数

一阶连续偏导数

而且这是偏F偏u加上偏F偏v

是不等于零的

我们这个函数 z等于f(x,y)

是由这个方程确定

F(x-z,y-z)等于零

由这个确定

实际上也就是 x y z三个变量

满足一个等式

所以说 给定了x y之后

在一定条件下

我们可以得到唯一的z满足这个等式

所以确定了一个二元隐函数

现在我们来求一求

求偏f 偏x 加上偏f 偏y

实际上就是求 这个二元隐函数

两个偏导数的和

那我们来看这个问题怎么做

我们知道求隐函数的导数

除了两边做微分之外

我们也可以两边关于自变量求导

比如说在这个等式两端

我们关于x求导

这时候 得注意 x y 是自变量

相互独立

z我们理解成是x y的函数

所以说它应该是这样子的

偏F 偏u再乘上偏u 偏x

那么x关于x求导是1

z关于x求导就是偏f 偏x

然后再加上偏f 偏v

再乘上v关于x求导

y关于x求导是0

z关于x求导就是偏f 偏x

所以这边乘上负的偏f 偏x

这个等于0

0是右边的导数

类似地 在这个等式两端

我们关于y求偏导

注意到x和y相互独立

z是x y的函数

所以我们得到了

偏F 偏u乘上u关于y求偏导

x关于y求偏导是0

z关于y求偏导是偏f 偏y

再加上偏f 偏v

再乘上v关于y求导

也就是1减掉偏f 偏y

右边的偏导是等于零

所以说 在等式两端分别

关于x 关于y求偏导

我们就得到了这两个等式

我们把这两个等式加一下

加一下我们看一下

就是说

偏f 偏x和偏f 偏y都是负号

所以说我们可以

把这两个的系数给提出来

也就是 这样就推出了

负的偏F 偏u这里有一个

就是偏f 偏x 加上一个偏f 偏y

这是一项

接下来 还有 这儿两个一加

这里有一个负的偏f 偏x

这里有一个负的偏f 偏y

而它的这个系数是一样的

所以我们就再减掉一个

偏F 偏v这面乘上

偏f 偏x再加上偏f 偏y

当然 这边还有一项

就是偏F 偏u

这儿还有一项是偏F 偏v

也就是再加上一个

偏F 偏u再加上偏F 偏v

这就是这两个等式的左边加起来

这个应该等于零

那我们看一下

这两个括号是一样的

然后我们把这个括号提出去

把负号提出来

又出现了一个偏F 偏u 偏F 偏v

因为我们的条件是

这个是一个不等于零的数

所以说由这个等式

以及这个条件

我们就直接的出了

我们要求的这个

偏f 偏x加上偏f 偏y

实际上应该是等于1的

我想 这是一个关于二元隐函数

与它的一阶偏导数有关的问题

在这个问题的解答过程中

我们就根据我们要求的量

实际上 我们在等式两端

做的就不是微分运算

而是在等式两端

分别关于自变量求偏导

同时 我们考虑到

我们求的是一个表达式的值

所以说我们没有直接把

f关于x和f关于y的偏导数求出来

而是直接两个等式做加法

得到了我们要求的这个和的结果

这是第二个例题

最后一个例题 我们来看一个

具体的隐函数

也就是说 我们假设

z等于f(x,y)由下面这个等式确定

这个等式 也就是

x方减掉6倍的xy

再加上10倍的y的平方

减掉两倍的yz

在减掉z的平方

再加上18等于零

实际上这就是x y z满足的一个方程

我假设这个z等于f(x,y)

是由这个方程确定的

我们现在来求一求

就是这个函数关于x的一阶偏导数

在x等于9 y等于3时的值

再求一求 这个二元隐函数

关于x的二元隐函数

在x等于9 y等于3时的值

就是这两个偏导数值

那我们的做法是这样子的

就是说 在原来等式两端

我们关于x直接求偏导

考虑到y与x相互独立

z是x的函数

我们就会得到这个关系式

两倍的x 再减6倍的y

这个关于x求导就是0

再减掉2倍的y 偏z 偏x

再减掉一个2倍的z乘上偏z 偏x

应该等于0

这就是在原来这个等式两端

关于x求偏导我们得到的表达式

因为我们还要求二阶偏导数

所以说

我们在这个等式两端再关于x求偏导

同时 仍然注意到

x y相互独立

z是x的函数

我们就会得出 这个求导是等于2

这个求导是0

减掉2倍的y

这个再一求导就是

偏方z 偏x方

而这个我们理解成两个函数相乘求导

也就是第一个求导 第二个不动

也就是2倍的（偏z 偏x）平方

再减掉一个2倍的偏方z 偏x方

等于0

这样我们就得到了三个关系

首先我们来看一下 这个二元隐函数

在自变量x y分别等于9和等于3时

它的函数值是什么

我们把x等于9 y等于3

往这个表达式里面一代

往这个表达式里面一代之后

我们就会得到这么一个结果

也就是z方加上一个6倍的z

减掉一个27等于0

这是关于z的一个二元函数

在这里面大家很容易会得到它的解

当然有两个解

一个是z等于正3

一个是z等于负9

那我们现在只处理一个z等于正3的

因为我们限定它在某一点附近

隐函数是个局部存在性

所以说 我们就考虑

函数值非负的那种情况

这样我们就会得到

z在x等于9 y等于3

这个地方的函数值

应该是等于3的

然后我们把x等于9 y等于3

z也等于3

往这里面一代

这个只剩下了这个一阶偏导数

在这一点的导数值

这个我们可以求出来

也就是代进去会得到

偏z 偏x在x等于9 y等于3

这点的值 应该是等于0的

最后我们把x y

当然这里面没有出现x

也没出现z

也就是咱们把y等于3

然后一阶偏导数等于0 代进去

我们就会得到

要求的那个二阶偏导数的值

我想 这是我们求

具体的隐函数在指定点的

偏导数值 的方法

也就是在原来的方程里面

先把相应点的函数值求出来

然后 有了函数值

自变量的值之后

代到带有一阶偏导数的

这个表达式里面

把相应的一阶偏导数求出来

如果要求二阶偏导数时

再代到这个表达式里面

把相应点的二阶偏导数求出来

实际上在一元函数部分

我们也曾经碰到过类似的

求一元隐函数的

在指定点的导数

或者是二阶导数的问题

做法是一样的

这是关于隐函数求导法

我们要介绍的内容