可降阶方程（之二）在线视频

好 前面我们介绍了

两类可降阶的微分方程

接下来 我们来看第三类

可降阶的微分方程

也就是 第三类可降阶的微分方程

我们主要是讨论 这个形式的

也就是 两阶导等于f y y一阶导

在这里面 y当然是函数值

但是我们看整个方程

它的特点就是说

在整个方程里面

它并不显含着自变量

并不显含着自变量

那么 对这类方程

我们一个一般的处理方法是这样子的

我们就令一个新的函数

这个函数 自变量是y 函数值是u

它应该等于y' 原来函数值是y

自变量 我们表示成x

也就是我们做这个变量替换

做这个变量替换的时候

我们看一下 那个y关于x求二阶导

也就是两边关于x求导

这边求导的时候

由这个y是中间变量

所以也就是等于u关于y的导数

再乘上y关于x的导数

根据我们这个y关于x导数是u

所以这个 我们可以给它简记成

u关于y的导数 再乘上u

这是这个二阶导数

我们把一阶导 二阶导与u的关系

代到原来这个方程里面去

我们就会推出来

原来这个方程就变成了

u'乘上u 这边应该等于f(y,u)

那我们看一下这个方程

自变量我们当成是y 因变量是u

这就变成了这个新的未知函数的一个

一阶微分方程 也就是说

我们通过做这样的变量替换

也达到了

把这个方程进行降阶的目的

实际上 在这个地方做的时候

跟前面两类可降阶的方程相比

它的难以理解的地方

就是说 我们根据这个方程的形式

把新的未知函数的自变量

使用原来的函数值来作为自变量的

实际上 从运算的角度来讲

这个并没有什么太大的困难

就是像 我们关于x求二阶导

无非就是对这个东西关于x求导

那因为这里面变量不是x

那么就把它当成中间变量就可以了

我想这是一般的处理方法

接下来我们举一个例子

这个例题 我们就求解这个方程

说 y的平方 乘上y的二阶导数

减掉y的一阶导数 应该是等于0的

这就是一个二阶微分方程

在这个方程里面

就不显含着自变量

所以我们处理这个方程的时候

自然就用它的一般处理方法

也就是说 我们令u(y)=y'(x)

这个时候 则y关于x的两阶导数

就等于u关于y的一阶导再乘上u

最后 把这个y' y''与u的关系

代到这个方程里面去

原来这个方程就变成这个样子了

就是y方 这面就是u'乘上u

这边就等于u 就把这个y'移过来

这时候大家看一下

如果这个u是不等于0的

我就两端把u消掉 消掉之后

这个方程就直接变成了这个样子

就是du应该就等于 除过去

就是y方分之一 dy

这样两端积分 这就是u应该等于

它的原函数是负的y分之一

还有一个积分常数 就是减掉y分之1

这样我就等到了 就是

u与y的关系 u是谁呢

u是y' 也就得到了

就是y'就等于一个 一个通分

y分之cy-1 那么

对于这个原来的未知函数来说

这个方程

应该是一个变量分离方程

所以我们自然就这样处理

也就是 处理成是这样子

y底下是cy-1 这边是dy

这边应该等于一个dx

然后 这个我们给它求原函数

求原函数的时候

我们可以这样给它写

就给它做成cy-1

当然 它原来y的系数是1

这个地方应该是乘上一个c分之1

乘上c分之1相当于就是说

跟原来相比多减了一个c分之1

所以后面我们要给它加上一个

c分之1倍的cy-1 dy

也就是给它变了形

这个消掉就是1

所以这应该是c分之1对y求原函数

自然就会推出

这个原函数是c分之1倍的y

这是这一个 然后 这边

我们在做的时候

直接用一个凑微分

也就是 加上一个c方分之1

这边是ln(cy-1)

这边自然也就等于一个

x加上一个c1

我想这就是在u不等于0的情况下

我们得到的x和y 满足的代数关系

当然这也可以作为是

原来那个二阶微分方程的通解

有两个任意常数

一个是c 一个是c1

在这里面

当然u恒等于0也是它的解

u恒等于0时 也就是意味着

这个就推出了y’(x)应该是等于0

这时候 它的一个解就是说

它恒等于常数就可以了

这样我们就把原来方程的解

都给解出来了

我想这是关于第三类可降阶方程

当然 对于可降阶方程来说

我们只是给出了三类最基本的

实际上对好多微分方程

有些是高阶微分方程

我们处理的时候都是想

看看能不能对它降阶

即使它不属于这三类方程

我们有时候也是看能不能通过

做一定的变量替换

把它进行降阶

就是跟前面我们介绍的

一阶微分方程的求解想法是一样的

就是在解微分方程的过程中

变量替换应该是一个基本的想法

那我们最后看一个例题

就是我们来求解一下这个方程

就是x乘上y y''

再加上x倍的y'的平方

再减掉y乘上y'等于0

这应该是一个二阶微分方程

在这个方程里面

大家看 既有自变量

又有自变量 又有未知函数

还有一阶导数

当然二阶微分方程自然有二阶导数

所以如果说你想用降阶的方法说

我看一看它是不是我们讨论过的

可以降阶的类型的时候

它当然不在里面

但是在这个方程里面

我们看一下 就是说

这个x显然可以提出来

提出来之后y乘以y的两阶导

再加上y'的平方

实际上正好是y乘y'的导数

所以说对这个方程我们做求解的时候

应该是这样 先对它进行变形

x这边是乘上y y''加上y'平方

这个再减掉y y'等于0

我们再进一步写

这就是x乘上括号里面 y乘y'的导数

再减掉x y乘上y'等于0

那么到了这个形式

那我们就想一想

这个相当于是说

它求导它不动 减掉这个不动

这个1相当于是对x求导

你基本的导数运算

应该是比较熟悉的

尤其是和差积商函数的求导公式

我们是应该非常熟悉的

如果你意识到

刚才说的是说它求导它不动

减掉它不动它求导

这自然就是在两个函数做商的时候

做导数运算会出现这样的形式

那这个所谓它求导它不动

分母是谁呢 分母应该就是x

所以说它求导的时候

做完之后应该就是x平方

那么我在原来等式两端

同除一个x平方

它自然还是对的

但是这样一除x平方之后

这个左端它就变成了是这个样子

就是 y乘上y'除上x 括起来的导数

这就是左端 它应该等于0

它等于0当然意味着就是

yc乘上y'除上x应该等于常数c1

这样大家看 我们就通过什么

我们熟悉的简单的微分运算

或者说导数运算

不知不觉地就把这个二阶微分方程

处理成了一个一阶微分方程

当然已经降阶了

对这个一阶微分方程

它是一个变量分离的

所以我们自然可以写成

y dy 这边是c1 x dx

这样再求原函数

就是二分之一倍的y方

这边就是二分之一倍的c1 x方

再加上c2

这就是我们原来那个方程的通解

我想这是我们最后讨论的这个问题

也就是说尽管在介绍微分方程的时候

我们给它尽可能地

进行了归纳 进行了分类

找到了一些共同的 所谓的一般方法

但真正做具体方程的时候

我们应该是根据方程的特点

来看一下 对不同的方程

我们该怎么去做所谓的变量替换

通过变量替换来达到求解方程的目的