当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第五章 常微分方程 > 第一节 微分方程的基本概念 > 一阶微分方程定解问题解的存在唯一性
好 前面我们已经给出了
微分方程定解问题他的提法
现在我们讨论一下这个问题
也就是说我们给了一个定解问题之后
他的解是不是存在
如果存在的时候解是不是唯一
关于这个问题
我们在微积分课程里面
不做进一步地讨论
我们只给出一个结论
这个结论我们写成定理的形式
我们设区域D是以x0y0为中心的长方形区域
我们假设函数fxy在D上是连续函数
而且存在一个大于0的常数L
使得函数在f(xy1)这点的值
和在(xy2)这点的函数值
他的差的绝对值
是小于等于L倍的y1-y2的绝对值
那么 我们就知道
初值问题也就是y‘=f(xy)
初值是x0这点的函数值正好是y0
这个初值问题
就在以x0为中心的一个小区间上
是解存在而且唯一
这个区间的半长h
是在a与b和m中的两个数里面取最小的
这儿的这个m表示的是
这个fxy的绝对值
在这个长方形上的最大值
在这个定理中
我们对函数fxy
除了连续性条件之外
我们加了一个这个条件
这个条件在数学上我们一般说
是这个二元函数
关于自变量y满足利普西兹条件
这个L是个利普西兹常数
实际上就是这个条件
比这个二元函数
只关于自变量y连续要强一些
要强一些
也就是在更强的条件下
我们知道这个定解问题
他是具有所谓的局部存在唯一性
因为我们最后的结论只是保证
存在以x0为中心的某一个区间
在这个区间上
这个定解问题他的解是存在唯一的
我想这是这个定理告诉我们的
那在这个定理里面
如果我们有一个定解问题
函数fxy并不满足这个条件
我们看看会出现什么现象
下面这个例子
也就是y’等于2倍的根下y
其中我们给的定解条件是
x=0时 y=0
对于这个定解问题
我们可以直接看出
如果这个函数是恒为0的时候
那么他在0到正无穷这个范围上
是既满足这个方程
也满足这个条件
所以说这就是这个定解问题的一个解
但是我们也能看出
如果y(x)=x^2
x是属于(0 +∞)的时候
那么这个函数
应该在[0 +∞)上也是满足这个方程的
同时这个函数在x=0时的值也是等0的
也就是说一个定解问题
我们现在得到了两个解
那这个跟我们这个结论中的条件
矛盾不矛盾
实际上他并不矛盾
因为现在相对于我们那个定理来说
他的fxy就是2倍的根下y
而2倍的根下y
关于变量y
他并不满足所谓的利普希兹条件
也就是说我们找不到
一个大于0的常数L
使得他在两点值的差
能够被这两点的纵坐标差的绝对值控制住
因为大家知道
在y接近0的时候
那么这个函数值的变化
相对自变量的变化应该是非常快
所以那个L是取不到的
这就是给出了一个
如果条件不满足
我们并不能保证解总是唯一的
另外我们还要说明的是
如果我们的方程
是一个特殊的微分方程
比如说就是一阶线性微分方程
一般的 我们一阶线性微分方程
他的写法就写成这个样子
对于这个方程里面
我们说 只要fx qx这两个函数
他是连续函数
那么这个一阶线性微分方程的定解问题
他的解总是存在而且是唯一的
为什么这样说
因为就这个方程来说
我们当然可以给他写成
是这个样子 q(x)-P(x)y
这就是我们定理里面的f(x y)
如果p(x)和q(x)都是连续函数时
那么这个表达式
作为xy的二元函数
当然是连续的
而且他对变量y来说的时候
他是个线性的
他是不是满足利普希兹条件 对y
主要就是看y前面的系数
是不是有界就行了
如果p(x)是连续函数
那我考虑的又是一个有限区域的时候
他自然应该是有界的
所以说如果p(x)q(x)是连续的时候
那么这个一阶线性微分方程
他一定满足我们定理中的条件
他的解自然是存在唯一的
事实上我们可以把这个结论
推广到一般的n阶线性微分方程
也就是说 对n阶线性微分方程来说
这是我们写的n阶线性微分方程的一般形式
在这个方程里面
如果我们这些系数函数
以及右端项函数都是连续的
那么对这个n阶线性微分方程来说
他的定解问题
他的解也是存在而且唯一的
所以在后边我们讨论
有关线性问题的问题时
我们总是假设
他的系数函数和右端项函数是连续的
在这个假设下
我们就承认了
线性微分方程的定解问题
解总是存在而且是唯一的
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
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-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
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-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
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-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
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-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
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-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
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-第三章重积分--第二节练习题
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--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
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--三重积分的引入
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-第三章重积分--第四节 练习题
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-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
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--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
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-第四章 向量分析--第一节 练习题
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-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
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--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
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--势函数及其计算
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-第四章 向量分析--第五节 练习题
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-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
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-第五章 常微分方程--第二节 练习题
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-第五章 常微分方程--第三节 练习题
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-第五章 常微分方程--第四节 练习题
