当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第一章 多元函数微分学 > 第一节 多元连续函数 > 连续函数的性质-3
好 接下来我们介绍一下
连续函数的第三个性质
这就是有界闭区域上
连续函数它的一致连续性
在前面我们介绍
一致连续概念的时候
我们曾经说过
在任何一个点集上
一致连续的函数
它一定是逐点连续的
现在我们这个定理
说的是这个内容
设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续
则这个函数f(x,y)在D上是一致连续的
这个地方 我们加的条件
除了函数的逐点连续性之外
主要就是对这个点集D
首先要求它是有界的
同时要求它是闭区域
也就是在这个结论的证明过程中
我们除了用函数的连续型概念之外
主要还用到了什么叫有界
什么叫闭区域
让我们看我们的证明
这个证明 因为是由逐点性质
来推整体性质
从正面去做的时候
由点及面 当然是困难的
我们一般证这类性质的时候
是用反证的想法
也就是说 我们假设
这个f(x,y)在D上不一致连续
那根据不一致连续的严格表述
应该就是这样
也就是
存在一个ε0大于0
对任意的δ大于0
我总能找到一个点P
一个点我用P ? 表示
它属于D
一方面满足P和P ? 的距离
是小于δ的
同时这两点的函数值是不那么接近的
这就是函数在这个区域上
不一致连续的表述
在这里面 我们利用这个δ的任意性
特别地 我就取
这个δ就等于正整数的一个倒数
m就是正整数
这时候 对m等于1 等于2 等于3
我们会找到一系列的点
也就是说 这时候我们会找到
一个点列我用Pm来表示
还能找到一个点列
我用P-m来表示
它们都是包含在D里面的
这两个点列对应的点
一方面是d(Pm,P-m)
它应该是小于m分之1
另外一方面
这两点的函数值的差绝对值
应该总是大于ε0的
这样我们就找到了这么两个点列
因为 先看这个点列
它是一个有界点列
所以它有收敛子列
因为这个区域 它是一个闭区域
所以它的极限点
仍然还在这个区域D中
所以我们就假设这个
Pm这个点（列）的一个收敛子列
是Pm k
它的极限点 我用P*来表示
也就是k趋向无穷时
这个点列收敛到P*
因为D是有界闭域
所以它应该是属于D的
我们找到了这个下标之后
我们大家看一下
这个P- m k到P*的距离
利用前面我们介绍的
两点距离的三角不等式
它应该是小于等于
P ?m k 到 Pm k的距离
再加上Pm k到P*的距离
在这里面
这个根据这个点列满足的性质
也就是说它应该是小于m k分之1
这个再加上Pm k到P*的距离
这个在k趋向无穷时
自然是趋向零的
而这一个 根据这个也趋向零
这样就证明了 这个距离趋向零
实际上 我们证明了
这个P*不仅是Pm k的极限点
也是P ?m k的极限点
在这个地方
我们看一下 对这个m k这个下标来说
我们这两个不等式
实际上就可以写成这个样子
一方面 它满足这个等式
另外一方面 最主要的
它是满足这个等式
在这个不等式的两端
我们让k趋向无穷取极限
因为P*在这个区域里面
函数在P*这点自然是连续的
所以我们在这里面取极限的时候
这一个就变成了
P*这一点的函数值
再减掉P*这一点的函数值
它是大于等于ε0的
大家看 这个结论是不对的
为什么会出现
这么一个显然矛盾的结果
就是因为我们假设了这个函数
在这个有界闭区域上
它不是一致连续的
所以我们的假设是不成立的
也就证明了
只要在有界闭区域上连续
它就一定一致连续
请大家注意一下
我们有界性用在哪儿
有界性主要就是用了
它是有界集
那么就一定有收敛的子列
我们那个闭区域用在哪儿 用到了
因为它是在这个闭区域里面的点
那么它的极限点
仍然在这个闭区域里面
这样最后我们才能用上
这个函数在P*这一点的连续性
从而由这个不等式
利用连续的定义
得到了这个不等关系
这样 最后导致了
一个显然不成立的结果
这是关于这个结论
有了这个结论之后
我们知道 无论是一元函数
在有界的闭区间上
还是多元函数在有界的闭区域上
它的连续性
指的是逐点连续性和一致连续性
是两个等价的性质
最后 作为这一节的结束
我们看一个例题
这个例题是这样子的
已知函数f(x,y)在平面R上连续
而且在x趋向无穷 y趋向无穷时
f(x,y)是正无穷大量
证明 存在一点(x0,y0)
使得f(x0,y0)小于等于f(x,y)
对任意的点(x,y)都成立
现在我们证明
存在一个点(x0,y0)
属于平面上一点
使得f(x0,y0)小于等于f(x,y)
对于任意的f(x,y)都是成立的
证明这个性质
这个性质 实际上直观上
大家是很容易想象的
因为我们知道在空间中
z等于f(x,y)
一般表示的是一张曲面
这个是说明 这是一张连续的曲面
而这个条件 意味着
当(x,y)离原点的距离趋向无穷时
这个曲面是可以无限往上的
大家可以想一下
当然会有这样的点 落在最下面
那么怎么来说清楚这件事情
我们可以这样来说
就是说 因为我们这个条件是对的
也就是说(x,y)这个点趋向无穷远时
这个函数是个正无穷大量
所以 我们一定能找到
一个大于0的数
使得只要(x,y)这个点
到原点的距离
不小于这个数
我们就有 f(x,y)它的函数值
应该是大于f(0,0)的
因为函数在原点的值是一个常数
那么对于这个确定的值来说
因为它是正无穷大量
那么总在一个
以坐标原点为圆心的圆盘外面
所有点的函数值都比它来得大
现在我们就记D就等于(x,y)
然后x方加y方小于等于N方
这实际就是一个
以原点为圆心 半径是大N的圆盘
包括边界
它当然是一个平面上的有界闭区域
我就有这个函数f(x,y)
在这个有界闭区域上
它是连续的
那么根据连续函数在有界闭区域上
一定有最小值 这个性质
我们就一定存在一个点(x0,y0)属于D
使得这个不等式是对的
f(x0,y0)它是小于等于f(x,y)
只要(x,y)属于D就可以了
这样我们就找到了一个点
它是这个圆盘上
所有点的函数值里面最小的
当然 在这个圆盘之外
因为任何一点的函数值
都是比原点的函数值来得大的
而原点的函数值
自然又是大于等于f(x0,y0)的
这样 综合这两个方面的考虑
我们就得到了 我们这个(x0,y0)
就满足这个不等关系
就是小于等于f(x,y)
只要这个(x,y)是平面上的任意一点
它都是成立的
这样我们就利用
连续函数的有关性质
证明了一个具有这个性质的函数
它满足的结论
这是关于连续函数性质
我们要介绍的内容
主要就介绍了三个定理
有界性和最值存在性
零点存在定理和介值定理
以及有界闭区域上
函数连续和一致连续的等价性
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
