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偏导数的几何意义在线视频

偏导数的几何意义

下一节:高阶偏导数的概念

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偏导数的几何意义课程教案、知识点、字幕

好 下面我们介绍一下

偏导数的几何意义

在介绍一元函数导数时

我们知道

一元函数导数值的大小

反映的是曲线y等于f(x)

在相应点切线的斜率

也就是 反映的是

这个倾斜角的正切值

假设这个点用x0来表示

也就是f'(x0)应该等于tanθ

这是一元函数导数的几何意义

现在 对多元函数来说

因为它的图像

表示的是空间中的一张曲面

也就是x y z

我们假设我这有一块曲面

这就是z等于f(x,y)它的图像

现在我们让y等于b固定

相当于是在空间里面

作了一张垂直于y轴的平面

这就是y等于b

那么这张平面与这张曲面

它有一条交线

有一条交线

然后 同时 这张平面

与xy坐标面有一条交线 是直线

我们所谓的函数在(a,b)这一点

关于x的偏导数

从几何上讲 表示的应该是

这条交线上的一点(a,b,f(a,b))

这是它的三个坐标值

过这点作这条曲线的切线

那么这条切线与下面这条直线

它应该有一个夹角

这个夹角在这个方向

我用α来表示

我们说这个偏导数的几何意义

实际上就是这个夹角的正切值

实际上 与一元函数对照起来看

相当于是 我们把这个坐标面

给它平移到了y等于b

这个平面里面来

那么在这个平面中的一条曲线

在相应点的切线的斜率

就是我们这一个偏导数值

这是关于x偏导数的几何意义

类似的 如果我们考虑

它关于y的偏导数的几何意义

这是x轴 y轴 z轴

我们还是考虑这么一块曲面

比如说这就是z等于f(x,y)的图像

我们这个时候

作一张垂直于x轴的平面

这就是x等于a

那么 这个平面

与这张曲面有一条交线

这张平面与xy这个坐标面

也有一条交线 是一条直线

是平行于y轴的直线

现在我们说这个二元函数

在这一点(a,b)

关于y这个变量的偏导数值

实际上从几何上看

也就是 我们看这个点(a,b,f(a,b))

过这点作这条曲线的切线

这条切线与下面这条直线

它应该有一个夹角

这个夹角我们指的是这一个

这个我用β来表示

那么 这个β与这个偏导数的关系

应该就是 它的正切值正好是

这个函数在(a,b)这点

关于y的偏导数值

实际上 与一元函数导数的几何意义

对照起来理解

相当于我们把这里这个坐标面

给它平移到了平面x等于a里面去

那么 这条切线

它与平行于y轴直线这个夹角

就相当于是在一元函数里面

切线的倾斜角

我想这是在几何上

来谈偏导数大小与几何量的关系

应该表示的还是

平行于坐标轴

就是 垂直于坐标轴平面中

一条曲线它的切线

它的倾斜角的正切值

微积分——多元函数与重积分课程列表:

第一章 多元函数微分学

-第一节 多元连续函数

--向量的内积与长度-1

--向量的内积与长度-2

--R^n中的点列的收敛性

--内点、外点、边界点-1

--内点、外点、边界点-2

--开集、闭集、区域

--多元函数的有关概念

--二重极限的定义

--二重极限的例题

--二次极限的定义

--连续与一致连续的定义

--连续函数的性质-1

--连续函数的性质-2

--连续函数的性质-3

-第一章 多元函数微分学--第一节练习题

-第二节 多元函数的偏导数

--偏导数的概念

--偏导数的几何意义

--高阶偏导数的概念

--混和偏导数与求导顺序无关的条件

-第一章 多元函数微分学--第二节练习题

-第三节 多元函数的全微分

--全微分的概念

--可微的必要条件

--可微的充分条件

--可微的充要条件

--多元函数的原函数

-第一章 多元函数微分学--第三节练习题

-第四节 多元函数的微分法

--复合函数微分法之一

--复合函数微分法之二

--复合函数求导数(举例)

--隐函数存在定理

--隐函数求导法(举例)

--隐函数组求导法

-第一章 多元函数微分学--第四节练习题

-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量

--方向导数的概念

--方向导数的计算

--梯度向量的概念与计算

-第一章 多元函数微分学--第五节练习题

-第六节 映射及其微分

--映射与连续映射的概念

--映射的导数、微分、雅克比矩阵

--复合映射的微分法

-第一章 多元函数微分学--第六节练习题

-第七节 多元函数的泰勒公式(以二元函数为例)

--二元函数有Peano型余项的Taylor公式

--二元函数有Peano型余项的Taylor公式-2

--二元函数带有Lagrange型余项的泰勒公式

-第一章 多元函数微分学--第七节练习题

第二章 多元函数微分学应用

-第一节 多元函数微分学的几何应用

--空间曲线的切线与法平面(之一)

--空间曲线的切线与法平面(之二)

--空间曲线的切线与法平面问题举例

--曲面的切平面与法线(之一)

--曲面的切平面与法线(之二)

--曲面的切平面与法线(之三)

--曲面的切平面与法线问题举例

-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题

-第二节 多元函数的极值

--极值点的概念和必要条件

--极值点的判别法

--极值问题举例

-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题

-第三节 多元函数的条件极值

--二元函数条件极值问题的提法

--三元函数条件极值问题的提法(之一)

--三元函数条件极值问题的提法(之二)

--条件极值问题的直接解法

--条件极值问题的Lagrange解法

--条件极值问题举例

--多元函数在有界闭域上的最值

--最小二乘法

-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题

第三章重积分

-第一节 二重积分的概念和性质

--二重重积分引入

--二重积分定义

--二重积分性质

--关于二重积分性质的例题

-第二节 二重积分的计算

--二重积分的计算:直角坐标系(1)

--二重积分的计算:直角坐标系(2)

--二重积分的计算:直角坐标系(3)

-第三章重积分--第二节练习题

-第三节 极坐标系及一般坐标系

--极坐标系

--一般坐标系

--二重积分的一般坐标变换公式

--二重积分的计算:极坐标系

--二重积分的计算:极坐标系例题

--二重积分的计算:一般坐标系例题

-第三章重积分--第三节练习题

-第四节 三重积分

--三重积分的引入

--三重积分的定义

--三重积分的性质

--直角坐标系

--三重积分的计算:例题(1)

--三重积分的计算:例题(2)

--空间坐标变换

--空间柱坐标系

--空间柱坐标系例题(1)

--空间柱坐标系例题(2)

--球坐标系

--球坐标系例题

-第三章重积分--第四节 练习题

-第五节 第一类曲线积分

--第一类曲线积分的引入

--第一类曲线积分的定义

--第一类曲线积分的性质

--第一类曲线积分的计算公式

--第一类曲线积分的计算例题

-第三章重积分--第五节 练习题

-第六节 第一类曲面积分

--第一类曲面积分的引入

--第一类曲面积分的定义

--第一类曲面积分的性质

--第一类曲面积分的计算公式

--第一类曲面积分的计算例题(1)

--第一类曲面积分的计算例题(2)

-第三章重积分--第六节 练习题

-第七节 含参变量积分

--含参定积分的定义

--含参积分的连续性

--含参积分的导数

--含参积分的例题

-- 广义含参积分的一致收敛性

--广义含参积分的连续性和积分导数

-第三章重积分--第七节 练习题

第四章 向量分析

-第一节 第二类曲线积分

--第二类曲线积分的引入

--第二类曲线积分的定义

--第二类曲线积分的性质第二类曲线积分的性质

--第二类曲线积分的性质

-第四章 向量分析--第一节 练习题

-第二节 Green公式及其应用

--平面第二类曲线积分:Green公式

--平面第二类曲线积分的计算:利用Green 公式

-第四章 向量分析--第二节 练习题

-第三节 第二类曲面积分

--曲面的定向

--第二类曲面积分的引入

--第二类曲面积分的定义与性质

--第二类曲面积分的计算

-第四章 向量分析--第三节 练习题

-第四节 Gauss公式与Stokes公式

--Gauss公式

--第二类曲面积分的计算:Gauss公式

--Stokes公式及其应用

-第四章 向量分析--第四节 练习题

-第五节 无源场,保守场与调和场

--平面保守场

--势函数及其计算

--空间保守场

--常见的场

-第四章 向量分析--第五节 练习题

第五章 常微分方程

-第一节 微分方程的基本概念

--微分方程概念举例

--微分方程的基本概念

--一阶微分方程定解问题解的存在唯一性

-第二节 可求解的一阶微分方程(初等积分法)

--变量分离方程

--齐次型方程

--可化为齐次型方程的方程

--一阶线性微分方程的概念和解的性质

--一阶线性微分方程的解法

--Bernoulli方程

--可降阶方程(之一)

--可降阶方程(之二)

-第五章 常微分方程--第二节 练习题

-第三节 高阶线性微分方程解的结构

--线性微分方程解的性质

--函数组线性相关(无关)的概念

--函数组线性相关的必要条件

--线性微分方程解函数组线性相关的判别法

--线性微分方程解的结构

-第五章 常微分方程--第三节 练习题

-第四节 高阶线性常系数微分方程

--视频5--17 二阶线性齐次微分方程的特征法

--n阶线性齐次微分方程的特征法

-- 线性齐次微分方程的特征法举例

--二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法

--二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法(之一)举例

--二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法(之二)

--二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法(之二)举例

--二阶线性常系数非齐次微分方程的变动任意常数法

--二阶线性微分方程的变动任意常数法

--二阶线性微分方程的变动任意常数法(之二)

--欧拉方程

--欧拉方程举例

-第五章 常微分方程--第四节 练习题

偏导数的几何意义笔记与讨论

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