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极坐标系

下一节:一般坐标系

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极坐标系课程教案、知识点、字幕

好我们现在介绍坐标变换

我们先讲一个特别的坐标变换

极坐标系

那么我们来看一下所谓坐标变换

这是一个直角坐标系 x y 原点

在x y这个直角坐标系里面的任意一点

不在零点非原点的这么一个点

我们把它叫P点 P点的坐标呢

就是x和y 其中呢我们可以知道

它在x轴的投影是x 在y轴上的投影就是y

这是我们所谓的直角坐标系

那么我们现在改变一下直角坐标系

我们找一组数这组数呢

P这一点呢有另外一组数和它对应

我们把它叫做ρ φ

我们是这么给定义的其中这个ρ呢

指的就是P点到原点的距离

φ呢就是指的夹角

这个是ρ 这个是φ

那么在我们φ就是

向量OP与x轴的它的夹角

那么在我们这个定义下

我们这个ρ可以给出它的取值范围

是从0到正无穷因为非零点

φ呢也给出一个取值范围

那么这个φ的取值范围呢

有不同的确定方法

一个是0到2π 另外一个呢

是负π到正π 这是常见的

那么我们可以发现

根据我们这个定义

ρ呢就等于根号x平方加上y平方

这个φ呢就比较麻烦了

分不同的情况来讨论

在arctan y除以x

当x P这个点呢在第一或者说第四象限

然后当P这个点时第二个象限的时候呢

就应该是π加上arctan y除以x

P属于第三象限呢我们还要给一个式子

那么这个时候我们可以稍微改一下

我们把φ的取值范围改成从负π到正π

负π到正π

这样的话满足我们这个要求

如果在第四象限的话

就应该是arctan y除以x 减去π

根据不同的象限 φ呢

它的表达形式是不一样的

我们反过来来看 x可以写成什么东西呢

x等于ρcos φ y呢写成ρsin φ

这样的话我们就做到一件事情

P是一个平面上的一个点

非原点那么P这一个点的位置

可以用两种方法来给它定出来

第一种就是x y 第二种呢就是ρ和φ

而且我们可以知道

有一个x y可以唯一地确定一个ρ φ

有一个ρ φ 就可以唯一地确定一个x y

那么同样一个点有不同的形式的表示

那么我们把这种不同的表示

实际上就叫做坐标的变换

其中x y表示的是

直角坐标系下的一个坐标

ρ φ呢就表示的是

极坐标系下的同样一点的一个坐标

而这个公式呢

恰好是我们把它称作为

坐标变换的公式

那么在我们这个坐标变换里面

我们还可以值得提出来的就是这么一点

就是x对ρ的偏导数 x对φ的偏导数

y对ρ的偏导数 y对φ的偏导数的

行列式的绝对值

当时我们在学多元函数微分的时候

就是指的是 x y ρ φ

我们可以算一下

是等于正好是等于ρ

这是大于零的在非原点

那这就告诉我们

从另外一个角度告诉我们

那么这个变换是一个可逆的变换

或者说呢是一个一一的对应

是坐标变换在一一对应的情况下

它是有意义的

如果不是一一对应的话

你把一个点一个坐标变成好几个坐标

那实际来讲上是没有什么太大意义的

那么这就是原来我们讲的

映射和逆映射的一个微分学的一个东西

那么这是我们讲的

极坐标系和直角坐标系

极坐标系的一种坐标变换的一种过程

那么由x y来表示ρ φ

同样一变换的话

由ρ φ可以来表示x y

那么这个坐标变换在同样一个几何形状

譬如说一个直线

或者说一个区域在不同的坐标系下

它的表示形式是不一样的

那么我们来看看如果说

我们平面上直角坐标系下

有这么一个区域

x y x平方加y平方小于等于1

这是一个圆域单位圆域

那么这个单位圆域

在极坐标系下是如何来表示的

那它就表示成一个D星号

ρ φ ρ呢是大于等于0小于等于1

φ呢是大于等于0小于2π

或者说呢

从φ也可以是大于等于负π小于π

也可以反正是360度转一圈

至于从什么地方开始

我们当然是无所谓

根据不同的问题

那么可以有不同的处理办法

所以我们可以发现

在直角坐标系下这么一个圆域

在极坐标系下就变成很简单的一件事情

如果说在直角坐标系下

有这么一条所谓的射线

哪条射线呢这么一条射线

假如这个角度是等于四分之π

这条射线那么在极坐标系下

我们也可以很简单的表示

这相当于φ等于四分之π

所以呢一些平面上的一些几何体

譬如说直线曲线或者说呢一些区域

那么在极坐标系下

它有另外一种表达形式

那么极坐标系的优势在什么地方

也就是说我们什么样的情况下

想用极坐标系

就是对圆有关系

你想这是一个平面上的一个圆域

而这个圆域在极坐标系的情况下

就变成了一个长方形的一个区域

所以呢跟圆有关系的东西

用极坐标系来表示通常会简单一点

微积分——多元函数与重积分课程列表：

第一章多元函数微分学

-第一节多元连续函数

--向量的内积与长度-1

--向量的内积与长度-2

--R^n中的点列的收敛性

--内点、外点、边界点-1

--内点、外点、边界点-2

--开集、闭集、区域

--多元函数的有关概念

--二重极限的定义

--二重极限的例题

--二次极限的定义

--连续与一致连续的定义

--连续函数的性质-1

--连续函数的性质-2

--连续函数的性质-3

-第一章多元函数微分学--第一节练习题

-第二节多元函数的偏导数

--偏导数的概念

--偏导数的几何意义

--高阶偏导数的概念

--混和偏导数与求导顺序无关的条件

-第一章多元函数微分学--第二节练习题

-第三节多元函数的全微分

--全微分的概念

--可微的必要条件

--可微的充分条件

--可微的充要条件

--多元函数的原函数

-第一章多元函数微分学--第三节练习题

-第四节多元函数的微分法

--复合函数微分法之一

--复合函数微分法之二

--复合函数求导数（举例）

--隐函数存在定理

--隐函数求导法（举例）

--隐函数组求导法

-第一章多元函数微分学--第四节练习题

-第五节多元函数的方向导数与梯度向量

--方向导数的概念

--方向导数的计算

--梯度向量的概念与计算

-第一章多元函数微分学--第五节练习题

-第六节映射及其微分

--映射与连续映射的概念

--映射的导数、微分、雅克比矩阵

--复合映射的微分法

-第一章多元函数微分学--第六节练习题

-第七节多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）

--二元函数有Peano型余项的Taylor公式

--二元函数有Peano型余项的Taylor公式-2

--二元函数带有Lagrange型余项的泰勒公式

-第一章多元函数微分学--第七节练习题

第二章多元函数微分学应用

-第一节多元函数微分学的几何应用

--空间曲线的切线与法平面（之一）

--空间曲线的切线与法平面（之二）

--空间曲线的切线与法平面问题举例

--曲面的切平面与法线（之一）

--曲面的切平面与法线（之二）

--曲面的切平面与法线（之三）

--曲面的切平面与法线问题举例

-第二章多元函数微分学应用--第一节练习题

-第二节多元函数的极值

--极值点的概念和必要条件

--极值点的判别法

--极值问题举例

-第二章多元函数微分学应用--第二节练习题

-第三节多元函数的条件极值

--二元函数条件极值问题的提法

--三元函数条件极值问题的提法（之一）

--三元函数条件极值问题的提法（之二）

--条件极值问题的直接解法

--条件极值问题的Lagrange解法

--条件极值问题举例

--多元函数在有界闭域上的最值

--最小二乘法

-第二章多元函数微分学应用--第三节练习题

第三章重积分

-第一节二重积分的概念和性质

--二重重积分引入

--二重积分定义

--二重积分性质

--关于二重积分性质的例题

-第二节二重积分的计算

--二重积分的计算：直角坐标系（1）

--二重积分的计算：直角坐标系（2）

--二重积分的计算：直角坐标系（3）

-第三章重积分--第二节练习题

-第三节极坐标系及一般坐标系

--一般坐标系

--二重积分的一般坐标变换公式

--二重积分的计算：极坐标系

--二重积分的计算：极坐标系例题

--二重积分的计算：一般坐标系例题

-第三章重积分--第三节练习题

-第四节三重积分

--三重积分的引入

--三重积分的定义

--三重积分的性质

--直角坐标系

--三重积分的计算：例题(1)

--三重积分的计算：例题(2)

--空间坐标变换

--空间柱坐标系

--空间柱坐标系例题(1)

--空间柱坐标系例题(2)

--球坐标系例题

-第三章重积分--第四节练习题

-第五节第一类曲线积分

--第一类曲线积分的引入

--第一类曲线积分的定义

--第一类曲线积分的性质

--第一类曲线积分的计算公式

--第一类曲线积分的计算例题

-第三章重积分--第五节练习题

-第六节第一类曲面积分

--第一类曲面积分的引入

--第一类曲面积分的定义

--第一类曲面积分的性质

--第一类曲面积分的计算公式

--第一类曲面积分的计算例题（1）

--第一类曲面积分的计算例题(2)

-第三章重积分--第六节练习题

-第七节含参变量积分

--含参定积分的定义

--含参积分的连续性

--含参积分的导数

--含参积分的例题

-- 广义含参积分的一致收敛性

--广义含参积分的连续性和积分导数

-第三章重积分--第七节练习题

第四章向量分析

-第一节第二类曲线积分

--第二类曲线积分的引入

--第二类曲线积分的定义

--第二类曲线积分的性质第二类曲线积分的性质

--第二类曲线积分的性质

-第四章向量分析--第一节练习题

-第二节 Green公式及其应用

--平面第二类曲线积分：Green公式

--平面第二类曲线积分的计算：利用Green 公式

-第四章向量分析--第二节练习题

-第三节第二类曲面积分

--曲面的定向

--第二类曲面积分的引入

--第二类曲面积分的定义与性质

--第二类曲面积分的计算

-第四章向量分析--第三节练习题

-第四节 Gauss公式与Stokes公式

--第二类曲面积分的计算：Gauss公式

--Stokes公式及其应用

-第四章向量分析--第四节练习题

-第五节无源场，保守场与调和场

--平面保守场

--势函数及其计算

--空间保守场

-第四章向量分析--第五节练习题

第五章常微分方程

-第一节微分方程的基本概念

--微分方程概念举例

--微分方程的基本概念

--一阶微分方程定解问题解的存在唯一性

-第二节可求解的一阶微分方程（初等积分法）

--变量分离方程

--齐次型方程

--可化为齐次型方程的方程

--一阶线性微分方程的概念和解的性质

--一阶线性微分方程的解法

--Bernoulli方程

--可降阶方程（之一）

--可降阶方程（之二）

-第五章常微分方程--第二节练习题

-第三节高阶线性微分方程解的结构

--线性微分方程解的性质

--函数组线性相关（无关）的概念

--函数组线性相关的必要条件

--线性微分方程解函数组线性相关的判别法

--线性微分方程解的结构

-第五章常微分方程--第三节练习题

-第四节高阶线性常系数微分方程

--视频5--17 二阶线性齐次微分方程的特征法

--n阶线性齐次微分方程的特征法

-- 线性齐次微分方程的特征法举例

--二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法

--二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法（之一）举例

--二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法（之二）

--二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法（之二）举例

--二阶线性常系数非齐次微分方程的变动任意常数法

--二阶线性微分方程的变动任意常数法

--二阶线性微分方程的变动任意常数法（之二）

--欧拉方程举例

-第五章常微分方程--第四节练习题

极坐标系笔记与讨论

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