当前课程知识点：微积分——多元函数与重积分 > 第三章重积分 > 第七节 含参变量积分 > 广义含参积分的一致收敛性
好我们引进一个新的含参积分
假如说 广义含参积分
假如说f x y作为二元函数
它是定义在D中的一个区域里面
x y x呢是大于等于a小于正无穷
y呢是大于等于c小于等于d
这是定义在一个横向的
一个带状域上这么一个函数
如果说满足这个条件
对于任意的y属于c d
从a到正无穷
f x y关于x
现在我们是广义积分 这是收敛的
既然它是收敛的
对于任意的y属于c d
就有对应的唯一的一个收敛值
那么这种对应的唯一性呢
也构造了一个函数
我们把这个函数就记成 I y
从a到正无穷
f x y dx y呢是属于c d这个范围
我们把它称之为广义含参积分
那对于广义含参积分
同样我们要来研究
I y这个函数连续不连续
它的积分是什么样子
然后呢 可导不可导
那么我们先来回顾一下
什么叫 I y f x y是收敛的
我们一般的收敛性 我们是这么说的
给一个y 那么f x y
就是关于x的单变量函数
y如果固定的话
那么在a到正无穷
它一定是一个收敛的
这是我们提的要求
那么这个要求相当于什么事情呢
相当于 因为我们知道 所谓收敛性
那么就有一个
它就是一个极限问题
这个极限问题 就相 等价于
limit A趋于正无穷 从小a到大A
f x y dx 这个极限存在
这就是收敛
那么极限存在我们有一个柯西准则
所以呢 这个极限存在的柯西准则
是这么讲的
如果对于任意的epsilon大于零
我存在一个大A大于小a
对于任意的A一撇和A两撇大于大A
都有从A一撇到A两撇 f x y dx
这个函数积分的绝对值
是小于epsilon
这是含参积分
广义积分收敛的它的要求
那么在这个积分里面我们知道
有一个参变量叫做y
既然y作为一个参变量
所以呢 y会体现在 这个大A的选取
除了依赖于 跟epsilon有关系之外
一般还跟y这个变量有关系
也就是说 y属于c d 不同的y
通常大A有可能不一样
那么这个性质的话
对我们后面的证明当然是很有
很不利的
所以呢 为了证明它的连续性
积分 可导性
我们除了一般的收敛性之外
还要做一个 一致收敛性
好现在我们给一个一致收敛的定义
所谓一致收敛 就是指的是（动画中乱码，改进中。。。）
如果说对于任意的epsilon大于零
存在着一个大A是大于小a的一个数
对于任意的A一撇和A两撇大于大A
对于任意的y属于c d这个区间
我们从 f x y从A一撇到A两撇
它的定积分的绝对值小于epsilon
如果这件事成立 那么我们就说
f x y从a到正无穷的
关于y 含参变量y的广义积分
关于y属于c d是一致收敛的
确实存在某些函数的广义积分
它不是一致收敛的
我们再来看看 不一致收敛怎么说的
所谓不一致收敛 也就是说
我们要把这个定义给它推翻
把它否定 所以不一致收敛呢
本身是这么一个写法
也就是说对于任意的epsilon大于零
我们要否定这句话的话
那么我们说
存在某一个epsilon 0大于零
存在着A大于小a呢
就是对于任意的A大于小a
这个对于任意呢 就变成存在
一定存在着A一撇和A两撇大于A
这个对于任意呢 也是存在
存在着一个y0属于c d
使得从A一撇到A两撇
f x y dx这个积分的绝对值
大于等于epsilon 0
那我们来看看这个否定的过程
对于任意的 就是存在epsilon
存在着大A大于小a
那么它的否定就是
对于任意的大A大于小a
那么对于任意的
A一撇A两撇大于大A
否定的话就是存在
A一撇A两撇大于大A
那么对于任意的y属于c d
那么也就是存在着y0属于c d
那么这个不等号呢
这个积分呢 小于epsilon
要给它否定过来呢
就是这个积分要大于等于epsilon 0
所以呢 这就是不一致收敛的
它的等价的充分必要条件
我们来看一个例子
我们来看看这么一个积分
从a到正无穷 a是一个常数
y e的负xy次方dx
y呢 是属于0到正无穷
我们来看看
这个广义积分的收敛性
这个广义积分
是一个收敛的广义积分
原因很简单
就是如果说y等于零的话
被积函数是零啊 一定是收敛的
如果y是一个大于零的一个数呢
这就是不是就变成一个
负的指数函数
既然是一个负的指数函数
也是收敛
这个广义积分
也可以证明它是一个收敛的
所以呢这个广义积分
无论是y等于零也好 y大于零也好
都是收敛的 也就告诉我们
这个广义积分 关于
在y属于零到正无穷
这么一个闭的集合里面
它是 都是收敛的
那么这样的话
实际上给了我们一个函数
I y就从a到正无穷
y e的负xy次方dx
其中呢 y呢是属于0到正无穷
确确实实确定了这么一个函数
但是这个广义积分
是不一致收敛的
我们来看看 为什么不一致收敛
所谓不一致收敛
我们要证明存在着epsilon 0大于零
我把这个epsilon 0找出来了
是不是就叫存在了
所以呢 我取epsilon 0就等于
e的负一次方减去e的负二次方
这是我们做到最后
在草稿纸上算完了之后
才最后可以取到的
不是我这心血来潮随便选的
那么我们来看看
对于任意的大A是大于a
要存在A一撇A两撇
所谓存在的话
我取到不就行了吗
我取A一撇呢就等于A加1
那么我们还可以取到
A两撇就等于两倍的A加1
要存在y0 我取到不就行了吗
我取y0就等于A加1分之一
然后我们来看一看
从A一撇是A加1到两倍的A加1
y0 y0乘上e的负x y0次方dx
这个积分我们是可以积出来的
这个积分呢
就等于e的负的x y0次方
上限下限往里面代 x等于A加1
上限呢x等于两倍的A加1
牛顿莱布尼茨公式
就等于e的负一次方减e的负二次方
就等于epsilon 0
所以我们可以知道
存在 因为我取到了就是存在
存在epsilon 0是大于零
对于任意的大A大于小a
我取到了 也就存在着A一撇A两撇
我取到了 也就是存在着y0
使得这个积分呢
因为它都是正的嘛
它的绝对值就等于epsilon 0
所以这个积分 含参积分
在这个范围内 它是不一致收敛的
那么我们现在呢
我们对于一个广义含参积分
实际上除了原来我们讲过的
广义积分的收敛性之外
我们还引进了另外一条
就是一致收敛性
那么这一致收敛性的条件
显然强于收敛性
那么这种广义积分的话
我们讲过广义积分我们讲过两类
一类叫做广义积分
一类是不叫做瑕积分
我们这种广义含参积分里面
我只是拿广义积分作为一个例子
实际上同样的问题
对瑕积分实际上也是存在的
也有瑕积分的含参积分 也一样
结论也都是一样的
-第一节 多元连续函数
--开集、闭集、区域
--二重极限的定义
--二重极限的例题
--二次极限的定义
-第一章 多元函数微分学--第一节练习题
-第二节 多元函数的偏导数
--偏导数的概念
--偏导数的几何意义
--高阶偏导数的概念
-第一章 多元函数微分学--第二节练习题
-第三节 多元函数的全微分
--全微分的概念
--可微的必要条件
--可微的充分条件
--可微的充要条件
--多元函数的原函数
-第一章 多元函数微分学--第三节练习题
-第四节 多元函数的微分法
--隐函数存在定理
--隐函数组求导法
-第一章 多元函数微分学--第四节练习题
-第五节 多元函数的方向导数与梯度向量
--方向导数的概念
--方向导数的计算
-第一章 多元函数微分学--第五节练习题
-第六节 映射及其微分
--复合映射的微分法
-第一章 多元函数微分学--第六节练习题
-第七节 多元函数的泰勒公式（以二元函数为例）
-第一章 多元函数微分学--第七节练习题
-第一节 多元函数微分学的几何应用
-第二章 多元函数微分学应用--第一节练习题
-第二节 多元函数的极值
--极值点的判别法
--极值问题举例
-第二章 多元函数微分学应用--第二节练习题
-第三节 多元函数的条件极值
--条件极值问题举例
--最小二乘法
-第二章 多元函数微分学应用--第三节练习题
-第一节 二重积分的概念和性质
--二重重积分引入
--二重积分定义
--二重积分性质
-第二节 二重积分的计算
-第三章重积分--第二节练习题
-第三节 极坐标系及一般坐标系
--极坐标系
--一般坐标系
-第三章重积分--第三节练习题
-第四节 三重积分
--三重积分的引入
--三重积分的定义
--三重积分的性质
--直角坐标系
--空间坐标变换
--空间柱坐标系
--球坐标系
--球坐标系例题
-第三章重积分--第四节 练习题
-第五节 第一类曲线积分
-第三章重积分--第五节 练习题
-第六节 第一类曲面积分
-第三章重积分--第六节 练习题
-第七节 含参变量积分
--含参定积分的定义
--含参积分的连续性
--含参积分的导数
--含参积分的例题
-- 广义含参积分的一致收敛性
-第三章重积分--第七节 练习题
-第一节 第二类曲线积分
-第四章 向量分析--第一节 练习题
-第二节 Green公式及其应用
-第四章 向量分析--第二节 练习题
-第三节 第二类曲面积分
--曲面的定向
-第四章 向量分析--第三节 练习题
-第四节 Gauss公式与Stokes公式
--Gauss公式
-第四章 向量分析--第四节 练习题
-第五节 无源场，保守场与调和场
--平面保守场
--势函数及其计算
--空间保守场
--常见的场
-第四章 向量分析--第五节 练习题
-第一节 微分方程的基本概念
--微分方程概念举例
-第二节 可求解的一阶微分方程（初等积分法）
--变量分离方程
--齐次型方程
-第五章 常微分方程--第二节 练习题
-第三节 高阶线性微分方程解的结构
-第五章 常微分方程--第三节 练习题
-第四节 高阶线性常系数微分方程
--欧拉方程
--欧拉方程举例
-第五章 常微分方程--第四节 练习题
