欧拉方程举例在线视频

前面我们介绍了欧拉方程的概念

和我们一般的求解欧拉方程的想法

下面我们先看一个例题

也就是说 如果我考虑这个方程

x^3y'''+x^2y''-4xy'=3x^2

那这是一个三阶线性微分方程

当然 大家根据他的特点

我们知道

这应该是个三阶的欧拉方程

我们求解这个方程的时候

我们就只对x大于0时进行求解

所以说我就令x=e^t t次方

接下来我就记我的g(t)

就等于一个y(x)

也就等于y(e^t)

这是我的新的函数

根据我们介绍的

欧拉方程的解法

得到的一般结论

我们直接就这样说就行了

则就是第一个项

应该就是D(D-1)(D-2)g(t)

这是第一项

第二项对应的

应该是加上D(D-1)g(t)

第三项应该就是减掉4Dg

然后右端项这时候就变成了

3倍的 x是等于e^t

那么x平方自然就等于e^2t

那我们简单整理一下

那么三次方项出来的应该是

D的三次方

就这三个乘起来

所以说这个地方

就是g(t)

平方项我们看一下

平方项 这个地方

应该出来的是一个-3

也就加上负的3倍D平方

然后这个地方

出来的是一个D的平方

哎就D的平方

这就是平方项

所以应该是g(t)

一次方项 这出来的

应该是一个两倍的

所以应该加上2D

这个地方出来的应该是个-D

减掉D 然后这还有一个-4D

所以减掉一个4D

这就是g(t)

这样右端项是3e^2t

最后我们给他写成导数的形式

D的三次方就是三阶导

然后D的平方是二阶导

也就是减掉2g‘’(t)

D就是求一阶导

这个地方我们一做

就是减掉3g‘(t)

右端项是3e^2t

也就是说这个欧拉方程

在这个变量替换下

如果我的未知函数

用g(t)来表示的时候

他关于g(t)对应的就是这一个

三阶线性常系数非齐次方程

那么对这个三阶微分方程来说

他对应的齐次方程的特征方程

大家能够看得出来

就是λ^3-2λ^2-3λ=0

那么他的特征根

λ1应该是=0的

接下来λ2 λ2应该是=-1的

λ3 λ3应该是=3的

这样我们就得到了

他对应的齐次方程的三个特征根

那当然 一方面

我们能写出齐次方程的通解

另外一个方面

我们还可以利用这个特征根

与这个指数部分这个系数2的关系

来设出他非齐次方程的一个特解形式

也就是我就令y*一个特解

因为2不是特征根

他前面又是一个0次多项式

所以我们就直接设

它是一个一般的0次多项式

再乘上这个e^2t

我们把这个y*

以及他的一阶导二阶导三阶导

代到这个方程里面去

我们就会得到这样子的

他的三阶导数

自然就是8Ae^2t

减掉他的二阶导数

实际就是减掉8Ae^2t

再减掉3倍的他的一阶导

也就是-6Ae^2t

这面应该等于3e^2t

这样一带进来

这两项消掉

这两项应该对应相等

所有我们这个A的值就应该等于-1/2

这样我们就通解特解都写出来了

所以说我们这一个方程

也就是我用g(t)来表示

g(t)他的通解应该是c1

这是对应的特征值

是0的这一项

加上一个c2e-t

然后再加上c3e3t

后面应该是减掉1/2e2t

但是我们解的并不是g(t)这个函数

我们要求的是y(x)这个函数

所以我们要把t与x的关系带回去

带回去之后

我们原来的欧拉方程的解

应该就等于c1

加上这面就是c2

x的-1次方就是1/x

这面再加上c3这应该是x的三次方

x三次方减掉1/2

这应该是x平方

这是我们这个欧拉方程的通解

尽管我们只求解了

x大于0时的表达式

但是在x小于0时

我们用同样的方法

一样可以得到他的解

我想这是关于一般的

欧拉方程的求解方法

作为微分方程

这一章的最后一个例题

我们来讨论一下

我们在介绍微分方程概念的时候

曾经举过一个例子

就是所谓的弹性振动

最后我们把他的方程写成是这个样子

也就是说两阶导数项

加上2ny‘再加上w^2y=右端项

实际上在这里面

我们第二项 这是与速度

大 那个大小成正比的 那个阻尼

实际上所以说这个表示的是阻尼项

而我们第三项

y这一项表示的是

与那个位移

成正比的 那种弹性力

所以这个可以称为弹性恢复项

而我们的右端项

我们认为是我们外加的力

所以说一般说右端项称为强迫项

这实际就是一个一般的弹性振动系统

在这里面我们 看一下

在不同的条件下他的结果是什么

好 我们看一下第一种情况

我们考虑一下n=0

这表示的是没有阻尼项

然后我们再让f(t)恒等于0

这个表示的是没有强迫力

所以说这应该是一个

无阻尼的自由的

弹性振动问题

这时候他的方程

也就变成了y’‘+w^2y=0

他的特征方程

也就是λ^2+w^2就应该=0

所以他的特征根

也就是λ应该等于就是± 根 ±wi

其中w在我们这个方程里面是大于0的

这时候他的通解

也就是y与时间的关系

就等于c1coswt再加上c2sinwt

我们做一个简单的变形

用辅助角公式

这个也就变成了根下c1^2+c2^2

sin然后wt加上一个角度θ

其中这个θ是由c1c2确定的

这就是他的时间

与这个振幅之间的关系

大家一看

这应该就是一个周期函数

所以说这个无阻尼的自由振荡

他实际就是一个最简单的简谐振荡

就是振幅是不做衰减的

这是第一种情况

接下来我们来看第二种情况

第二种情况

我们如果给这个条件

也就是 nw当然都是大于0的

我加一个n是小于w的

这个我们就称为是

所谓的小阻尼的情况

也就是说他的阻尼项

他的影响是没有他的

弹性项的影响来的强

所以这是小阻尼的情况

在这个时候

我们再加上就是右端项如果还=0

这就是没有强迫力的

所以这时候我们一般是叫

小阻尼自由振荡

这时候他的方程就变成了

y’‘+2ny’+w^2y=0

那么它的特征方程

咱们就变成了λ^2+2nλ+w^2=0

这时候 在给定条件下

我们看看他的特征根

他应该等于一个-2n

±根下4n^2-4w^2再除上2

但是在我们给定的条件下

n^2是＜w^2的

所以说这个时候出来

应该是一个-n±根下w^2-n^2

这面应该是个i

也就是说这个时候

他出现的仍然是一对共轭复根

那我们写他的通解的时候

他的振幅y(t)也就等于

c1然后e-nt cos根下(w^2-n^2)t

再加上c2e-ntsin

这面是根下(w^2-n^2)t

最后我们给他整理一下

应该就是一个根下c1^2+c2^2

乘上e-nt 这面是sin 括号里面

根下(w^2-n^2)t 再加上一个角度φ

这个φ也是由c1c2确定的

这就是所谓的小阻尼的自由振荡

那么到了这

我们看一下

无阻尼自由振荡

他的图形大概是这个样子的

这是时间轴

这个是振幅轴

也就是说一开始

当然有一个初始位置

他实际振 在振动过程中

振幅是不减的

而这个小阻尼的自由振荡

这里有一个因子

这个因子 因为n是大于0的

所以说随着时间越来越长

这个当然是越来越小

而且很快的趋向于0

所以说他的图形也就是

这如果还是时间轴

这个是振幅轴

他大概他的图象

应该是介于这两条指数曲线之间

也就是说

他应该是很快的

就是振幅会衰减 会衰减

这是它的变化情况

我们再来看最后一种情况

我们看一下最后一种情况

也就是n=0

但是这时候f(t)

我们不让他等于0

我们给他一个特殊的形式

H是个常数

sinwt 其中这个w

就是我们这个

弹性振动的

这个微分方程里面的这个w

也就是说这时候

我们的方程就变成了

y‘’+w^2y=Hsinwt

因为它对应的

齐次方程的两个特征根

我们是知道的

所以说我们能写出

对应的齐次方程的通解

接下来这个w

可以构造一个±w乘上i

而这个±w乘上i正好是

这个齐次方程的一个特征根

所以我们设他的特解

也就是令y*应该等于

他是他的特解

这边应该乘上t的一次方

他的前面这是一个0次多项式

所以我们就应该

这样Acoswt再加上Bsinwt

这就是这个非齐次方程的

一个特解形式

最后我们把他的

一阶导 二阶导求出来

一阶导也就是Acoswt

这是他求导 他不动

减掉一个Atsinw wt再乘上一个w

也就是乘在这后边w

接下来第二项求导

就是再加上一个Bsinwt

第二项求导应该是加上Bwtcoswt

这是一阶导

二阶导大家当然也可以求出来

最后我们把函数

一阶导和二阶导代到原来的方程里面

我们就会得到我们的A=-H/2w

这时候我们就知道

他的特解是什么形式

所以最后我们写出他的通解

应该就是y(t)=c1coswt

加上c2sinwt

后面是减掉H/2w

这面是t再乘上coswt

写成这样子之后

前面这是他对应的齐次方程的通解

这个表示的是这种弹性力的作用

他来回震荡

后面请大家注意一下

这面是有一个t的

这个t意味着

就是随着时间越来越大

这一项的振幅应该是越来越大的

也就是说他随着时间越来越长

就是这个振幅

或者是他的位移离平衡点

是越来越远 越来越远的

实际上这个现象为什么出现

就是因为我们在这个方程里面

给他加了一个外加力

而且这个外加的力的频率

跟原来他这个系统本身的频率

正好是一致的

实际这就是我们物理上的共振现象

也就是说

尽管你一开始加的这个外加力

可能本身不大

但因为你正好跟这个系统

是非常稳合的

那么随着时间越来越长

他的作用效果也是越来越强的