偏导数的概念在线视频

好 从这节课开始

我们来介绍一下

多元函数偏导数的概念

首先我们回顾一下

在一元函数里面

一个函数y等于f(x)

我们说

它在这一点导数指的是什么

函数在这一点的导数

主要反映的是

函数在这一点

函数值随着自变量的变化

而变化的快慢

那么对于多元函数

比如说二元函数

对于一个二元函数来说

我们在它定义域中取一点

比如说是P0

它的坐标使用(a,b)来表示

因为二元函数的自变量

实际上是平面上的一个点

点是没有大小的

所以说我们谈函数在P0这一点

随着自变量变化而变化的快慢

是没有确切含义的

现在 如果我们把这个点

限定在平行于坐标轴的直线上

也就是过P0这点

平行坐标轴的直线

比如说平行于x轴的直线

这时候点的坐标就是(x,b)

如果这样子的时候

我们这个二元函数

这时候就变成了

z等于f(x,b)

它实际是一个一元函数

那么这时候我们对这个函数

就可以问

这个函数 在(a,b)这一点

关于自变量x的变化快慢是什么

实际上就是处理这个一元函数

关于x的导数

应该是(a,y)

相应的我们这个二元函数

就变成了下面这个函数

z等于f(a,y)

这是关于y的一个一元函数

这个时候 我们自然就可以问

函数在(a,b)这一点

沿着这条直线

它随着y的变化而变化的快慢

如果我们分别考虑

这个关于x的函数

在a那点关于x的导数

以及下面这个关于y的函数

在y等于b那点关于y的导数

这样我们就会引进

二元函数在(a,b)这一点

关于自变量x和关于自变量y的

偏导数的概念

我们给出偏导数的定义

设函数f(x,y)在(a,b)这一点

及其附近有定义

我们令y等于b

考虑关于x的一元函数z等于f(x,b)

它的导数

也就是我们考虑

f(a+Δx,b)减掉f(a,b)除上Δx

在Δx趋向于0时的极限问题

若这个极限存在

我们就称这个极限值

是二元函数f(x,y)在(a,b)这一点

关于自变量x的偏导数

记作偏f偏x

或者是记作f'加个下标x

如果函数是z等于f(x,y)这个表示时

也可以记成偏z偏x

类似地 如果我们考虑

一元函数f(a,y)关于y的导数

我们就会得到函数f(x,y)

在(a,b)这一点关于y的偏导数的概念

同样地记作偏f偏y

实际上 从这个定义

我们可以看出

所谓二元函数在一点的偏导数

我们考虑的是

一个二元函数在一点

沿着平行于坐标轴直线

它的变化情况

一般的 偏导数我们也称为部分导数

就是一部分 只与一个变量有关

这是我们经常见到的一个说法

就是偏导数称为部分导数

那么与一元函数的导数相比

多元函数在一点的偏导数

既与一元函数的导数有共同的地方

比如说函数f(x,y)在(a,b)这一点

关于x的偏导数

本质上就是一元函数f(x,b)

在x等于a这点的导数

所以偏导数反映的是函数在这一点

沿着平行于坐标轴的直线上的性质

f(x,y)在(a,b)这一点关于y的偏导数

就是一个一元函数f(a,y)

在y等于b时的导数

所以本质上讲

多元函数在一点的偏导数

就是一元函数的导数

那么 与一元函数的导数相比

它的不同点在于

与一元函数不同

一元函数我们记成df/dx

我们知道 这个记号

也可以理解称两个微分的商

而偏导数的记号 偏f偏x

是一个整体记号

我们不能把它理解成是两个数的商

也就是说 偏导数的记号

不能理解成一个分式

那么这个具体的例子就说明

我们这三个量

应该是三个整体量

我们不能把它理解成三个分式

如果理解成三个分式的时候

那么这三个分式乘起来

应该是等于1的

而我们的结果它出来时负1

我想这是偏导数与一元函数导数的

一个不同点

另外 与一元函数不同

一元函数在一点可导

那么它在这点一定连续

而多元函数在一点可导

我们得不到它在这一点连续的结论

原因是 函数在一点偏导数存在

反应的只是

平行于坐标轴直线上的性质

而函数在一点连续

应该强调的是

函数在一点的值

与这点附近其它函数值之间的关系

那么对这个函数

我们前面讨论多元函数极限时

我们知道这个函数

在原点的极限是不存在的

所以说 它并不是一个连续函数

但是对这个函数

我们来看一下它在原点

关于x的偏导数是什么

根据偏导数的定义

它应该就是x趋向于0时

f(x,0)减掉f(0,0)除上x

也就是我让y等于0先固定

把它处理成是一个一元函数

在x等于0的导数

那么f(0,0)是等于0的

在这个表达式里面

就是说y等于0固定 它也是0

所以这个分子应该是0减0

这个极限自然是0

类似地 根据定义

我们也能得出来

偏f偏y在原点这一点

它的偏导数值也是存在的

仍然等于0

那么这个例子就说明了

两个偏导数在同一点都存在

我们得不到函数在这点的连续性

当然类似地

如果我们考虑这个函数

就是g(x,y)就等于

根号下x方加y方

那么这个函数在原点

它连续 大家一看应该是没问题的

因为它的极限在原点是0

函数值也等于0

这是个连续函数

但是如果我们考虑

它在原点的偏导数的时候

那么(偏)g在原点关于x的偏导数

按照定义 应该就是

先让y等于0固定

然后我们求这个函数

关于x在0点的导数值

也就是

g(x,0)然后g(0,0)做差再除上x

再让x趋向于0

这个时候 第一个y等于0

这就是x平方开方 是x绝对值

这个是0

所以这个得到的应该就是

x绝对值除上x

让x趋向于0

我们知道 这个分式

在0这一点的左右极限

是不相等的

所以说 这个极限是不存在的

这样 通过这个例子

我们就说清楚了 函数即使连续

它的偏导数也不见得存在

我想

这是关于二元函数

在一点偏导数的概念

以及二元函数在一点的偏导数

与一元函数在一点的倒数之间的

联系和区别

刚才我们给出了

函数在一点偏导数的概念

接下来我们看一个具体的

函数求偏导数的例子

第一个就是说

如果我们这个函数

z等于ln x方加y方

我们求这个函数关于x和关于y的

一阶偏导数

我们 偏z偏x

也就是在这个函数里面

让y当是常数对待

也就把y看做是常数

那就是对这个一元函数求导

根据复合函数求导法

也就是

ln的导数在x方加y方这点取值

再乘上x方加y方关于x的导数

应该是两倍x加上0

因为这时候y方相对x来说是常数

所以它的导数是0

所以我们得到的结果就是

二倍x除上x方加y方

如果我们求关于y的偏导数

做法是一样的

也就是将x看做是常数

对y求导

那应该就是x方加y方分之一

再乘上x方加y方关于y求偏导数

也就是0加上两倍的y

这个整理完之后应该是

二倍的y除上x方加y方

这是第一个例子

当然 我们在这里求偏导的时候

自然是在x方加y方大于零的地方求

因为这个函数的定义域

就是x方加y方大于零的时候

第二个例子

我们来看一下z等于arctan y分之x

也就是对y分之x的反正切函数

我们来求函数关于x关于y的偏导数

那么 偏z偏x

根据复合函数求导

应该就是

1加上y分之x的平方分之1

再乘上y分之x关于x求导

这时候y是常数

所以应该乘上y分之1

整理一下 就是最后的结果

然后 如果关于y求偏导

就是 偏z偏y

根据复合函数求导法 也就是

1加上x除上y括起来平方分之1

再乘上y分之x关于y求导

这时候x是常数

所以它的导数应该是负的

y方分之x

我们证明一下 就是最后的结果

也就是x方加y方

然后上面 y方上去和这个y方消掉

剩下的应该就是一个负x

然后 第三个函数

我们来看一下

z等于y的x次方

我们把这个看成是x y的二元函数

来求它们关于x的偏导数

和关于y的偏导数

对x求偏导时 y是常数

这实际就是一个指数函数求导问题

根据导数公式

我们知道 它应该就是

y的x次方 乘上 ln y

如果我们是关于变量y求偏导

那么这时候x是常数

这实际就是一个幂函数求导问题

则它的导数应该就是

x倍的y的x-1次方

最后一个例子

我们来看一下这个函数

也就是f(x,y)在这个三次曲线

但是不包括原点的时候

它的值是等于0的

而在其它地方

它的值都是等于1的

那么对这个函数

我们来求一求

它在原点关于x的偏导数

这个函数我们很容易就知道

它在原点是不连续的

因为沿着三次曲线趋向于原点时

它的极限应该是0

而沿着比如说坐标轴趋向原点时

它的极限应该是1

所以说这个函数在原点没有极限

自然就不会连续

但现在我们来求 它的偏导数

也就是要求 x趋向于0时

f(x,0)减掉f(0,0)比上x这个极限

因为在xy平面上

三次曲线的图像 大概是这个样子

我们在定义域里面

把这个原点给它扣掉

抠掉的时候 大家知道

这个点沿着坐标轴趋向于原地时

实际上 它这个时候

与三次曲线没有关系

也就是说在这一点

它的函数只是等于1的

而在原点 它的函数值也等于1

所以这个分子应该就是1减1等于0

所以它的极限是0

类似地 大家可以把

它在原点关于y的偏导数求出来

我想 通过这几个简单例子

大家就可以知道

对具体的多元函数求偏导

实际上就是把另外的变量当成常数

对相应的一元函数求导

所以对多元函数偏导数的计算问题

也就是一元函数的求导运算问题