全微分的概念在线视频

前面我们介绍了偏导数的概念

我们知道 函数在一点的偏导数

反映的只是函数在过这一点

平行于坐标轴直线上的性质

如果需要反映函数在一点

及其附近其它点函数值之间的关系

我们仅有偏导数是不够的

为此我们需要引进全微分的概念

我们先看两个简单的例子

第一个例子

我们假设一个边长是ab的长方形

那么它的面积就是S等于a乘b

如果现在我们知道

它的边长发生了变化

也就是从a变到了a加Δa

从b变成了b加Δb

那我们来求一求它的面积的改变量

面积的改变量我们用ΔS来表示

也就是a加上Δa再乘上b加Δb

减掉原来的面积a乘b

这样大家写出了 也就是

b乘上Δa再加上a乘Δb

再加上Δa乘上Δb

因为这个函数是一个很简单的函数

所以说 在边长发生了改变时

面积的改变量

我们直接就求出来了

那接下来我们看另外一个例子

如果我考虑的是f(x,y)

等于e的x加y次方

现在我们还是假设它的自变量

从x变到了x加Δx

y从y变到了y加Δy

我们看看在自变量的这个变化情况下

它函数值的改变量是什么

这是Δf(x,y)也就等于

e的x加Δx再加上y加Δy次方

减掉e的x加y次方

那我们给它做一个简单的整理

也就是e的x加y次方

这面是e的Δx加上Δy次方减一

当然 从理论上讲

我们也直接把它函数值的改变量

写出来了 但是这个改变量

因为有指数运算

它与自变量改变量的关系

没有刚才我们这个例子来的这么清晰

因为刚才这个表达式

就是自变量改变量的线性部分

再加上另外一部分

对这个问题我们能不能

也处理成这个形式

实际上我们是可以做到的

因为我们知道

在Δx趋向于0 Δy趋向于0时

我们e的Δx加Δy次方减一

除上Δx加上Δy

它极限应该是一的

极限是一的时候 那么

我们利用极限与无穷小的关系

把这个极限号去掉

它就应该等于一加上一个

比如说ε(Δx,Δy)

其中后面加的这个东西

是在Δx Δy趋向于零时

极限是零的一个表达式

这样 我们把这个分母乘过去

也就是说 e的x加y次方

乘上括号里面是Δx加上Δy

再加上ε(Δx,Δy)

再乘上括号里面Δx加Δy

那么这个函数值的改变量

前面这一部分也是

自变量改变量的线性部分

后面这部分是自变量改变量线性部分

乘上了一个极限是零的东西

那么这一个部分与

我们前面这个函数值改变量中的

这一部分

它有什么共同的地方

那我们可以看一下

对这个改变量来说

我们知道Δa趋向于零 Δb趋向于零时

Δa乘上Δb除上Δa的平方

加上Δb的平方

这个极限应该是零的

原因是这个绝对值是小于一的

所以说这整个表达式的绝对值

是小于Δb的绝对值

在Δb趋向于零时

它自然是极限是零

类似的 我们这一部分

我们看一下 就是

ε(Δx,Δy)再乘上Δx加上Δy

再除上Δx的平方加上δy的平方

我们让Δx Δy趋向于零

后面这一个跟这个的绝对值小于一

这个绝对值也小于一

实际上它的绝对值应该小于它的两倍

而这个ε极限是零的

所以说这个极限也是零

我们为了把它的共同点找出来

我们不妨把这个就写成

b乘上Δa加上a乘上Δb

也就等于 再加上一个小o(ρ)

而这个 我们也可写成这样子

e的x加y次方乘上Δx

加上e的x加y次方乘上Δy

再加上一个小o(ρ)

我们这个ρ是什么

通过刚才这两个表达式

大家应该知道

ρ实际上就是

(a+Δa,b+Δb)与(a,b)这两点之间的距离

而在这个表达式里面的ρ

表示的是(x+Δx,y+Δy)这一点

和(x,y)这一点的距离

这样子的时候 我们后面这一部分

都应该是两点距离的高阶无穷小

实际上 我们把这个性质

推广到一般的函数

得到的就是函数在一点可微

和函数全微分的概念

然后我们写成一个定义

我们设二元函数f(x,y)在点(a,b)

及其附近有定义

我们记ρ是(a+Δx,b+Δy)这一点

与(a,b)之间的距离

如果存在与ΔxΔy无关的两个常数AB

使得函数在(a,b)这一点

函数值的改变量

可以表示成自变量改变量的一次方部分

也就是a乘上Δx加上b乘上Δy

再加上这两点距离的高阶无穷小部分

如果能表示成这个形式

我们就称函数f(x,y)在(a,b)这一点是可微的

那么自变量改变量的线性部分

我们就称为是这个函数

在(a,b)这点的全微分 记做df

为了体现是在哪一点

后面我们标上(a,b)

也就是df(a,b)

从这个定义我们可以看出

如果函数在一点可微的时候

那么函数在这点一定是连续的

因为我们让Δx Δy趋向于零时

那么 这部分极限肯定是零

而后面它是一个高阶无穷小

极限自然是零 也就是

我们就得到 在可微的前提下

那么Δx Δy趋向于零时

我们就知道f(a+Δx,b+Δy)

它的极限值就是f(a,b)

这样我们就得到了函数在一点

可微与连续的关系

连续是可微的必要条件

比如有了这个结论之后

我们自然就会知道这一个函数

在原点是否是可微的

比如说f(x,y)就等于x乘y除上x方加y方

这个是不在原点的情况

在原点我们把它定义成零

那么我们问这个函数

在原点是否可微

现在我们就可以这样说了

因为这个函数我们前面已经讨论过

它在原点是不连续的

所以这个函数在原点就是不可微的

这是函数在一点

可微与全微分的概念

当然从全微分的定义我们知道

如果我们在Δx Δy绝对值

充分小的时候

把这个高阶无穷小部分我们给它丢掉

丢掉就会得到一个近似关系

这个近似关系就表示了

在一点(a,b)附近

我们实际上是可以用一个线性函数

来近似我们这个函数

这实际就是代数问题里面的

线性化思想

如果从几何上看

我们z等于f(x,y)一般的是一张曲面

而如果我们写成z等于f(a,b)

加上后面这个一次项部分

它应该在几何上表示的是平面

也就是有了微分概念之后

从几何上来解释 就是说

在一点附近 我们可以用平面

来近似这张曲面

我们自然要问这张平面是什么

这就是后面我们要介绍的

函数在这一点 就是它的切平面