Bernoulli方程在线视频

好 在这一节

我们介绍一类特殊的微分方程

这就是伯努利方程

我们看一下

什么叫伯努利方程

也就是伯努利方程

我们指的是这样的方程

就是y‘+P(x)y=y^nQ(x)

或者是右端项写成Qx乘上y^n

在这个方程里面

如果我们的n=0

大家看一下

n=0这个就等于1

这对应的就是前面我们介绍的

一阶线性非齐次方程

如果我们的n=1

等于1这面也是y这两项可以合并

这实际就是咱们前面介绍过的

一阶线性齐次微分方程

所以说我们在讲伯努利方程时

一般的是说n≠0和n≠1

原因就是说

他=0和=1的这两种特殊情况

我们是把他做为一阶线性

非齐次和齐次方程单独介绍的

那这样的方程

我们就称为是伯努利方程

伯努利方程

接下来我们来看一下

伯努利方程的求解方法

实际上伯努利方程

的常用的两种求解方法

第一种应该是很容易的

原因是我们只要变形就会发现

我们可以通过一个新的变量

把它变成新变量

满足的一个我们熟悉的微分方程

所以第一个解法

也就是变量替换法

或者叫变量代换 都可以的

这个方法主要指的是这样

如果y≠0时

我们把这个方程两端

同时除上y^n

这就是1/y^ny'再加上P(x)1/y^n-1

这面是=q(x)

而这一部分大家知道

y的n-1次方分之一一求导

他的主体部分出来的就应该是这个

他不过就是差了一个系数

所以这个系数就是

可以写成是1-n分之一

这面是一个y的n-1次方分之一的导数

再加上Px倍的

y的n-1次方分之一 等于qx

如果写成这个形式

我自然就可以这样想

我令Ux就等于y的n-1次方分之一

那么则原来这个方程就会变成是

u’加上一个1-n倍的P(x)U

再等于一个(1-n)q(x)

那么这个方程

关于新的未知函数u来说

他就是一个一阶线性非齐次方程

那我们得到了ux的表达式之后

自然也就就得到了yx的表达式

我想这就是我们介绍的

伯努利方程的第一种解法

就是变量替换的方法

这种方法也是我们微积分课程里面

求解伯努利方程最常用的的方法

另外伯努利方程还有一种处理方法

就是仿照我们前面处理

一阶线性非齐次方程时的处理方法

也就是用所谓的变动任意常数法

基本想法是这样子的

因为对一个伯努利方程来说

他实际也对应着一个齐次方程

也就是对伯努利方程

他对应着齐次方程

那么齐次方程我们会求解

所以我们假设v(x)

是这个齐次方程的一个解

我们就令y=u(x)v(x)

也就是说写成两个因子的乘积形式

令这个y满足

满足我们的伯努利方程

y‘+P(x)y=y^nq(x)

那我们把这个y和u的关系

代到这个方程里面来

也就推出这面就是u’v+uv‘

这面就是加上p(x)uv

这面也就等于一个u^n*v^n*q(x)

那这两项把u提出来

考虑到v(x)满足这个齐次方程

所以这两项是等0的

这样我们就得到

u’就等于u^n*v^(n-1)*q(x)

这一部分是已知函数

所以说这个等式

就是我们新的未知函数u(x)

满足的一个变量分离方程

变量分离方程

我们自然有办法去处理他

所以说如果我们用

变量替换的想法来处理

这个伯努利方程的时候

最后实际上我们要求解一个

一阶线性非齐次方程

如果我们用所谓的

变动任意常数法的思想

来处理这个伯努利方程时

我们最后要处理一个变量分离方程

我想无论是一阶线性非齐次方程

还是变量分离方程

都是属于我们能够处理的方程类型

所以说伯努利方程

有两种常用的处理方法

接下来我们看一个例子

说我们来求解这一个方程

也就是y'+(1/x)y

这面等于ay^2lnx

a呢 是≠0的常数

我们看一下这个

左端应该是一阶线性微分方程的左端

而右端有了y^2

这当然就是一个伯努利方程

那我们处理这个方程的时候

我们自然先给他变形

也就是把y^2除过来

y^2除过来之后

y方分之y‘可以看成是-(1/y)的导数

这面再加上1/x再乘上1/y

这面应该等于alnx

实际上我们就把y

1/y当成新的未知函数

我们也不引进新的记号来了

我们直接 就写1/y他应该等于

注意这里负号 所以说

在一阶线性非齐次方程里面

我们那个px在这个题目里面

应该是-1/x

那么这个地方

应该是-px的一个原函数

也就是1/x的一个原函数

这边是C加上咱们的右端项

把这个负号放到这来

右端项应该是-alnx

这面再乘上e的px的一个原函数次方

也就是乘上e的-1/xdx 再dx

这是我们用一阶线性

非齐次方程的通解公式

对这个方程得到的表达式

那我们看一下这几个积分

第一个积分1/x的原函数是lnx

在做一个指数

所以说这面就是x

里面C任意常数

这一个做的时候

这出来的应该是1/x

所以这应该是减掉a倍的x分之lnxdx

最后我们积出来

应该就是x乘上括号里面C

这个用凑微分法变成一个幂函数

也就是减掉a/2ln^2(x)

这是我们最后的结果

通过我们前面分析

几类特殊的微分方程

也就是齐次微分方程

以及在齐次微分方程后面

我们介绍的

导数只与ax+by+c有关的

或者说导数

只与一个简单的一次有理式有关的

这样的微分方程

一直包括我们前面介绍的

一阶线性非齐次方程和伯努利方程

通过这几类方程的求解

我们会发现

我们一个基本的处理想法

就是做变量替换

通过引进新的未知函数

把原来微分方程

变成新的未知函数

我们可以求解的方程

实际上在处理微分方程问题时

变量替换应该是一个基本的想法

最后我们举两个

利用变量替换处理的方程

比如说我们来看这个方程

也就是y+xy’=y(lnx+lny)

就这一个方程

这个方程大家看一下

他尽管是一个一阶微分方程

但是这里对未知函数

有了对数运算

自然他不能是线性的

而且有这样的项在里面

不是我们所谓的齐次型的

换句话说如果我们直接去求解

现在我们找不到合适的方法

但是在这里面

就是这一项

应该大家可以看到

他应该是（xy）‘

而这一边应该利用对数的性质

可以写成lnxy

这样一变形之后

我们会发现这个方程

主要的应该是与这个乘积有关

现在唯一一个项 不一样的

就是这个地方 没关系

我们给他乘一个x除一个x

这样大家看一下

如果我们把这个乘积

作为新的未知函数

这个方程会变得比较简单

也就是我们在求解的时候

我们就令u(x)就等于xy(x)

做了这个变量替换之后

则我们原来的方程

就变成了u’=(u/x)lnu

这应该是关于新的未知函数

u(x)的一个变量分离方程

那我们给他再变变形

这就是du除上ulnu

这面应该就等于x分之一dx

当然在这个地方

我们自然就没说u等0不等0

原因是因为我这里有对数运算

对数运算只有大于0的数才可以取对数

所以这个题目

应该是自己暗含着u是大于0的

接下来我们两端做积分

两端做积分用凑微分法

所以这面应该是这个样子

就是推出来是lnlnu

这是这边

这边当然就是等于lnx

再加一个常数

为了把最后的形式化简

我那个常数写成是lnC的形式

所以这样这就是lnCx

最后我们把对数符号去掉一层

也就是lnu应该=cx

当然再把u和xy的关系带进去

我们最后得到的结果是lnxy=cx

当然写到这样

我觉得xy满足的代数关系

就是明确的

这就是咱们要解的这个方程的解

这当然是一个隐式解

这是一个例题

接下来我们看

另外一个用变量替换处理的方程

也就是说我们来求解这一个方程

这是exp(-y)sinx

好 我们来处理这个方程

这个方程 当然大家看一下

尽管他是一阶的

但如果有指数运算

当然他不是线性的

同时就是这个地方

他也不是变量分离的

但是我们注意到exp(-y)

两边如果同乘exp(y)

这个方程就会变成

exp(y)y'+exp(y)=sinx

而这一项我们正好利用

复合函数的链导法则

可以知道他就是

exp(y)关于x的导数

所以我们在做这个题时

可以这样去写

我就令u(x)=exp(y(x))

那么则原来的方程就变成了u

他的一阶导数加上u应该等于sinx

所以方程就对于新的未知函数

变成了一个一阶线性非齐次的

那利用一阶线性非齐次方程的通解公式

他应该就等于exp(-x)

实际上就是p是1

-p的一个原函数当然是-x

这面是c+右端项是sinx

这面再乘上e的p(x)的一个原函数次方

所以就是e的x次方

那对于这个不定积分

我们知道sinxexp(x)这个不定积分

这应该又是一个典型的

分步积分法能够处理的

那大家通过两次分步积分

得到他满足的一个方程

最后就会得到这个原函数

所以我们就得到了ux的表达式

ux知道了

自然也就得到了yx的表达式

我想最后这两个例题

主要跟大家强调

尽管我们介绍了

各种各样的方程

但我们总能碰到

有的方程不属于我们介绍过的类型

这并不意味着我们就不会处理

我们要根据方程的特点去看看

能不能通过做简单的变量替换

把这个方程变成我们熟悉的方程形式