条件极值问题举例在线视频

好 前面我们介绍了条件极值问题的一般求解方法

也就是所谓的拉格朗日乘子法

在这一节我们看几个具体的例题

第一个例题 我们去求一下

求周长为2p的面积最大的三角形

实际上我们这个问题也就是说

如果一个三角形的周长是定值的时候

我们来求一求

他什么时候面积最大

当然这个结果

大家在平面几何里

也许已经知道了结论

那现在我们就是来讨论一下

为什么是正三角形的面积最大

就是在周长一定的前提下

然后 我们做这个问题的时候

我就假设三角形的三个边长

是abc 那么我们的条件

也就是a+b+c=定值2p

那根据三角形的海伦公式

我们知道 它的面积也就等于

根下p乘上p-a p-b 还有p-c

这就是面积

说 我们这个问题

就是要求这个面积

在这个条件下 他的最大值

因为我们如果把这个面积

直接做目标函数的时候

在做导数运算时

带有根号的东西求导

对我们做问题来说是复杂的

所以我们在具体转化成极值问题之前

把这个问题做一个等价的转化

也就是说求这个面积最大

也就等价于求他的平方最大

所以说我们就考虑

下面这个条件极值问题

考虑就是求这个最大值

也就是S平方

我们的约束条件就是a+b+c=2p

然后我们就直接构造

这个条件极值问题的拉格朗日乘子

乘子函数 令abc

然后有一个约束条件

引进一个拉格朗日乘子

这个也就等于p乘上p-a乘上p-b

再乘上p-c 再加上λ倍的a+b+c-2p

在这个地方大家注意

我们构造拉格朗日乘子函数的时候

我们的约束条件是写成约束函数等于0的形式

所以说在这个问题里面

我们的约束函数是a+b+c-2p

那么我们就求关于abc以及λ的偏导数

偏L偏a 这个地方

也就是他这求导出来一个-1

所以-p倍的p-b乘上p-c

然后这边一求 是加上λ

我们让这个等0

类似的偏L偏b

也就等于-p(p-a)(p-c)

这边关于b一求导

又是加上λ 让他等0

第三个也就是偏L偏c

他应该等于-p(p-a)(p-b)

然后这面关于c一求导又出来一个λ

这就是前面偏导数

最后一个就是偏L偏λ

实际上也就是a+b+c-2p 让他等0

现在我们来做这个问题的时候

大家看 就是我只看前两个方程

前两个方程因为这边都是λ

意味着这个表达式跟这个表达式值应该相等

而这两个表达式里面

p是公因子 p-c是公因子

所以前两个方程意味着

p-a和p-b是相等的

也就是a b要相等

类似的

我们直接看第二个等式和第三个等式

那λ一样 p一样 p-a是一样的

所以说我们就会知道p-c和p-b是相等的

这也就意味着b是等c的

也就是这三个方程

我们就推出了a=b=c等于c

当然如果我再用上第四个方程

他们都应该等于2p/3

实际上也就是说如果我来求

这个条件极值问题的极值点的时候

那么 他必须满足abc相等这个条件

也就是三角形必须是正三角形

因为根据实际问题

我们知道周长一定的三角形里面

一定有面积最大的 面积最大的

那就是说我们又得到了

可能的条件极值点只有一个

那这就是我们面积取到最大值的情况

所以就证明了在周长一定的前提下

等边三角形的面积最大

这是第一个例题

第二个例题

我们看一下就是求

这个函数f(x,y,z)=x+2y+3z

在就是x^2+y^2=2与y+z=1

就是交线上的最值

也可以说是求这个三元函数

满足这两个条件时的条件极值

实际上这个条件极值问题提的

他的几何背景就是

这是空间中的一张柱面

而这是空间中的一张平面

柱面和平面一交

交出来应该一般的是一个椭圆周

我们就是求当xyz这个点

在这个椭圆周上变化时

这个函数他什么时候取到最大

什么时候取到最小

最大值和最小值是什么

那这就是一个简单的条件极值问题

所以说我们解这个问题的时候

直接构造辅助函数L(x y z λ μ)

因为有两个约束条件

让他等于就是目标函数是x+2y+3z

再加上 λ然后是x^2+y^2-2

这是第一个约束函数

再加上μ倍的y+z-1

这就是第二个约束函数

有了这个拉格朗日乘子函数之后

我们就直接求解这个方程组

偏L偏x 那我们看一下

第一部分关于x求导出来的是1

这出来一个2xλ

这面与x无关 所以说 让他等于0

第二个我们就 偏L偏y

关于y求导第一部分出来的是2

第二部分再加上一个2yλ

第三部分再加上μ

再让这个偏导数等0

第三个就是偏L偏z

第一部分求偏导出来的是3

第二部分与z无关

第三部分求出来是个μ 让他等0

最后 还有两个约束条件

指的是偏L偏λ也就是x^2+y^2-2=0

偏L偏μ也就指的是y+z-1=0

那我们来解这个方程组

这个方程组大家会发现

第三个方程直接得到这个拉格朗日乘子

μ应该等-3 μ如果等-3

我们把μ=-3代到第二个方程

我们就知道-1+2yλ应该=0

大家再观察一下第一个方程

1+2xλ=0 所以说这三个方程合到一起

我们就知道y=-x

y=-x 我们把这个关系代到第四个方程

那么这就是x^2-1=0

所以说我们的x

要么是等1要么是等-1

x=1时y应该是=-1的

x=-1时y应该是=1的

好 我们把x=1 y=-1代到第五个方程

这时候就会得到z应该是=2

如果把x=-1 y=1我们代到第五个方程

这时候会得到z=0

所以说这个方程

尽管他是一个非线性方程组

但因为他有个别的方程特别简单

所以我们就按这个思路

能够得到我们两个条件极值点

然后我们就看看目标函数

在这两点的值分别是什么

如果x=1 y=-1 z=2的时候

这是1这是-2这是-1

z是2 这就是6 6加起来

这个时候函数值应该是等5的

而在这点x=-1 y=1 z=0

这是-1这是2加起来是1

这个是0 这个是等1的

我想做到这

我们这个问题就解决了

也就是说这个三元函数

在这两个约束条件下

他的最大值应该是5

最小值应该是1

如果你问最大值在哪一点取到

我们就可以说最大值是在(x=1,y=-1,z=2)时取到

如果最小值问哪一点取到的时候

他应该是在(-1,1,0)这一点取到

我想这是我们应该介绍的第二个例题

好 接下来我们来看第三个例子

第三个例子 我们假设

一张平面他的方程是ax+by+cz+d=0

我们在空间中有一个点P0

他的坐标是(x0,y0,z0)

我们的问题就是求P0到这个平面

平面 到平面上的点的距离的最小值

实际上也就是P0这个点

与平面上的任意一个点(x,y,z)

都可以做一个距离

在所有的这些距离里面

我们来求那个最小的

实际上大家知道

这就是要求点到平面的距离

当然点到平面的距离

大家在学习解析几何时

就是学习空间解析几何时

能够得到一个一般的结论

现在我们就从多元函数条件极值的这个角度出发

来看一下这个结论是怎么来的

这个地方

我们假设(x,y,z)是平面上的一个点

所以说我们的目标函数要求距离

也就是r(xyz)应该就等于

根下(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2

x y z应该是满足这个等式的

与我们前面讨论的第二个例题一样

因为我们如果把目标函数代入根号进行讨论时

在做倒数运算时会碰到一些困难

所以说我们又把这个问题转化成他等价的形式

我们的问题也就是要求

r平方的最小值

在这个约束条件下的最小

那我们直接构造

他的拉格朗日乘子函数

也就是令L(xyzλ) 一个约束条件

也就等于(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2

加上λ倍的ax+by+cz+d括起来

这就是我们构造的辅助函数

接下来我们就求这个四元函数

他的驻点

也就是要求他的偏导数都等0的点

所以说我们就看一下这个东西

由 偏L偏x 大家求求偏导

第一部分求出来2(x-x0)

后面这个部分求一下出来一个aλ

让这个等于0

第二个偏L偏y

前面一部分关于y求偏导应该是2(y-y0)

后面这个关于y求导出来的应该是bλ

让他等于0

第三个偏导数就是偏L偏z

前面一部分关于z求偏导

是z-z0 两倍的 后面这一个

应该是加上cλ 让他等0

最后一个偏L偏λ=0

也就是我们的约束条件

应该是满足的 +cz+d他应该=0

现在我们的问题

大家注意一下

在我们这前三个方程里面

我们都有(x-x0) (y-y0) (z-z0)

这样的项

而我们要求的时候

我们的目标函数里边就是只与这三个差有关

所以说我们先用前三个方程

把我们这个表达式转化成只与λ有关的样子

也就是我们这时候 我们的距离

应该是这样子的

因为(x-x0)给他移过去就是-aλ/2

所以说我们做完平方之后

实际就是a^2λ^2/4

这是(x-x0)^2

类似的 (y-y0)^2

利用第二个等式就是加上b^2λ^2/4

(z-z0)^2利用第三个等式也就是c^2λ^2/4

这样也就是等于λ/2

这面是根下a^2+b^2+c^2

所以说现在我们主要就是把λ求出来就行了

当然如果大家说

你λ不见得是正的

所以你平方开方出来的是绝对值

这绝对值当然是没错的

实际上不带绝对值的时候

只是意味着我这个空间中的点

是在这个平面的这一侧还是另一侧

但是我们求距离

无论他在哪一侧

他的距离都是正的

所以我们可以在这里平方开方出个绝对值

所以大家一看

我们主要就是求一下

在这个条件下

λ等多少就行啦

那这个我们怎么去用

我们要用ax+by+cz=-d这个条件

而这个条件在这里面怎么出来

请大家看一下

如果我在第一个等式两端同乘a的时候就出来ax

类似的 第二个方程两端同乘b

自然出来bx

第三个我就应该同乘c 出来cx

所以说我就再对前三个方程进行变形

变形完之后 第一个方程

应该是出来的

这个地方就是a^2λ应该等于

移过去 这应该是2倍的

这面是ax0-ax

第二个方程两边同乘b

也就是b^2λ等于2倍的bx0-bx

第三个方程同乘c

也就是c^2λ等于2倍的cz0-cz

现在我们把这三个等式 加起来

加起来之后也就推出了

(a^2+b^2+c^2)λ 这面就等于2x0

这个地方应该是by0 这是by

这样一加的时候

这就是by0+cz0

这面一加应该是-2(ax+by+cz)

但是大家注意一下ax+by+cz应该等于-d

所以说我们把这个再给他写一下

应该就是2(ax0+by0+cz0)

这面就是加上2d 我们写到这来

这样子的时候

在这个等式里面

我们λ直接就等于这一个表达式除上a^2+b^2+c^2

最后我们把λ往这里一代的时候

那么 我们的结果就是

上下这一个2是消掉的

然后这个根号

跟分母上这个消一下以后

应该就等于

分母上是根下a^2+b^2+c^2

而分子上剩下的是

绝对值里面ax0+by0+cz0+d

也就是说如果我们知道了平面方程

知道了空间中一个点的坐标之后

这个点到平面的距离

就是把点的坐标

代到平面方程的左侧作为分子

分母相当于是对

这个平面的法向量做了一个单位化

做了一个单位化

所以说这个点到平面的距离公式

与我们在中学里面学的

平面上点到直线距离公式

形式上是完全一样的

他无非是把直线问题

平面上的两维的问题

转化成了空间中的三维的问题