二次极限的定义在线视频

前面我们介绍了函数在一点的

二重极限的概念

接下来我们看这几个例子

第一个例子 就是我们看一下

x趋向于零 y趋向于零

就是 x乘sin y分之一

加上y乘上sin x分之一

以及 我们这样写

先让y取定不等于零 让x趋向于零

对这个函数 我们取极限

取完之后 再对这个东西 让y趋向于零

那么我们先看一下

这两个极限表达式表示的含义

这一个 前面我们已经几次提到这个极限

我们知道 这指的是

当x y这个点趋向于原点时

问这个表达式的值

它是不是越来越接近一个常数

而且 我们还在前面讨论的时候知道

它接近的那个常数是什么

因为前面我们曾经证明过

这个极限应该是等于零的

那接下来 我们重点解释一下

第二个极限表达式

中括号里面指的是

对于不等于零的y值固定了之后

让x趋向于零 当y固定之后

这一个 这就是x的函数

那么 在x趋向于零的过程中

第一项 是一个无穷小量

与一个常数的乘积

所以第一部分极限自然是零

第二部分 这是一个不等于零的常数

而sin x分之一 在x趋向于零的过程中

它是在正一和负一之间来回震荡的

也就是说 第二部分极限是不存在的

从而这个中括号里面这个东西

它并不是一个具体的数

当然 对这个中括号我们再取极限

自然也得不到什么结果

也就是说 对同一个函数来说

在这个极限过程里面 极限是零

而在下面这一个先关于x求极限

求完之后再关于y求极限的这个过程里面

我们就得不到任何结果

这是一个例子

接下来 我们再看另外一个例子

就是说 我们看一下

x趋向于零 y趋向于零

x乘上y除上x方加y方

然后以及 让y趋向于零 x y x方加y方

然后让x先固定

固定完之后取完这个极限之后

我们再让x趋向于零

当然我们也可以把这个顺序反过来考虑下

我们先看这两个极限表达式

这是我们前面曾经讨论过的一个极限

我们知道 在x y这个点趋向于原点时

这个表达式它是没有极限的

也就是说 这个极限 它是不存在的

现在 我们如果让x固定为一个常数

在x是一个常数的前提下 让y趋向于零

分子是趋向于零的 分母是趋向于x平方

所以说 这个中括号里面的值

应该就是对任意不等于零的x来说

它都是等于零 等于零的时候

那么我们再让x趋向于零

这个结果自然是零

当然 如果我们看另外一个顺序

也就是对x y除上x方加y方这个函数

我们先让y固定为不等于零的值

让x趋向于零 取完之后

再让y趋向于零

也就是看这个极限

跟刚才的讨论是一样的

对固定的y来说 在x趋向于零的过程中

这个中括号的值都是零

那么我们再让y趋向于零取极限

结果自然还是零 这是第二个例子

第三个例子 我们来看一下

这个问题 也就是说

让x趋向于零 y趋向于零

考虑x加y方除上x方加y

那我们先看这个极限

这个极限 如果我把这个x y

限定在一个固定的路径上

也就是说 我让x趋向于零

同时 让这个点 在这条直线上

这个时候 这个函数就变成了

x加上k方x方 再除上一个

x方加上k倍的x

那么 x趋向于零的过程中

这个极限应该是趋向于k分之一

由这个结论 我们知道

我们考虑的这个二重极限 它是不存在的

但是 对这同一个函数

我们来看一下 这个极限运算

也就是说

我们先让y固定为一个不等于零的数

让x趋向于零取极限 取完之后

再关于y趋向于零取极限

那我们看一下

y固定为一个不等于零的常数

x趋向于零时 分子是y的平方 分母是y

所以这个表达式它的值应该就是y

最后让y趋向于零 所以我们得到

这个极限运算的结果是零

对同一个函数

我们把这个极限运算看成是这个

也就是 先让x固定为不等于零的数

我们取y趋向于零时的极限

取完之后 我们再让x趋向于零

那么 在这个极限过程里面

y趋向于零的时候

就是对于不等于零的x来说

这个括号里面应该是x分之一

那么再让x趋向于零

这应该是一个无穷大量

我想通过这三个例子

想说明这么一件事情

实际上 就是对二元函数来说

这都是相应的极限运算

那么对二重极限 怎么刻画

我们前面做了重点介绍

现在我们主要是想说一下后面这个

譬如说 就第二个例子来说

这个是对一个二元函数

先让x固定 让y趋向于零

取完之后 再让x趋向于零

我们可以形象地说 是对这个函数

先关于y再关于x的一个极限运算

那下面这一个 自然应该就称为

是关于这个函数

先关于x后关于y的一个极限运算

实际上 这两个极限运算

它应该是有先后次序的

那在这个例子里面 当然大家看不出

在这两个极限运算的次序下

它的差别是什么 因为它都是有极限的

极限值都等于零 但是在第三个例子里面

我们可以很清楚地看到

对同一个函数在同一个点

你是先关于x取极限 先关于x后关于y取极限

还是先关于y后关于x取极限

它的结果是不一样的 实际上出现这种现象

我们也不应该感到奇怪

因为在一元函数微积分里面

讲到极限运算时 我们应该是特别强调过

极限运算它是没有所谓的交换律的

也就是对一般的极限运算问题

我们不能轻易地改变它的运算次序

那么 对一般的二元函数来说

我们对这两种极限给它一个名字

这就是我们这一节要介绍的

所谓的二次极限 也叫累次极限

所以我们这一节介绍的内容 就是累次极限

对二元函数来说

我们有时候也称为是二次极限

我们直接给出二次极限的定义

设f x在平面上的点集D上有定义

P0 坐标是x0 y0是点集D的一个聚点

如果对固定的y x趋向于x0时

函数f x的极限存在 而且极限值

我们用phi y来表示

那么 若y趋向于y0时

phi y的极限存在 值是A

则称A是函数f x y在x0 y0处

先关于x 后关于y的二次极限

或者叫累次极限

记作f x先对x趋向x0取极限

后对y趋向于y0取极限

它的极限 值是A 类似的

那我们写这个东西

也就是对f x y来说

如果我们先让x不等于x0固定

关于y趋向y0取极限

取完之后 我们再来考虑

x趋向x0取极限 如果这个极限有

也是A 那我们就称

A是这个函数在这一点

先关于y后关于x的累次极限

或者是二次极限

通过我们一开始讨论的这几个例子

譬如说我们的第二个例题

因为现在在一点 关于一个二元函数

我可以考虑三个极限问题

一个就是二重极限

一个是先关于y后关于x的累次极限

还有 就是先关于x后关于y的累次极限

那么 第二个例题说明

累次极限是不是存在 值是多少

与二重极限 应该是没有关系的

因为这个例子 二重极限不存在

但是两个累次极限都存在

而且都等于零

那要是看第三个例子的时候

我想第三个例子

进一步地佐证了我们刚才这个说法

因为对第三个例子来说

在原点 它的二重极限不存在

这个先关于x

后关于y的累次极限存在等于零

但是先关于y后关于x的累次极限

也是不存在的

但现在我们想讨论一个问题

对一个函数 在一个指定点来说

尽管我们讨论的是三个极限过程

但是它毕竟是

一个函数在同一点的极限问题

刚才那几个例子

我们主要强调了这几个极限之间的无关性

那它到底有关无关 我们给一个定理

这个定理是这样子的

若函数f x y在x0 y0处的二重极限存在

二重极限值是A 而且对固定的y来说

f x y关于x趋向于x0时的极限存在

它的值记成phi y

那么 我们的结论是

phi y在y趋向于y0时的极限一定存在

而且极限值就是二重极限值A

那么如果从

二重极限和累次极限的关系来说

也就是说 在二重极限存在的前提下

如果我们在累次极限里面

第一个极限过程它的极限是存在的

那么第二个极限过程

它的极限一定存在 而且它的值

就是二重极限值

接下来 我们简单说一下 这个结论的证明

这个结论的证明 我们就想一下

什么叫 这个极限存在等于A

实际就是一个一元函数

在一点极限是A的定义

也就是说 对任意的ε大于零

我们要找一个小δ

只要y到y0的距离小于δ而且不等于零

那么f y 就是phi y减掉A的绝对值

就应该小于ε 实际我们就是要证

对给定的ε 这样的δ存在不存在

那我们的条件是什么

条件是这个极限等式成立

和这个极限存在 那我们就这样写

证明 任给ε大于零

因为我们这个极限等式是对的

那根据二重极限的定义

所以我就存在一个δ1大于零

也就是当x y这个点

到x0 y0这个点的距离小于δ1时

也就是当x减x0的平方

加上y减y0的平方小于δ1且大于零时

我们就有f x y减A绝对值是小于ε

这是我们的条件

接下来我们为了把这个条件

转化成我们需要的形式

也就是说 我以x0 y0这个点为圆心

现在得到了一个半径是δ1的圆盘

只要点跑到这个圆盘里面来

这个不等式都是存在的

现在我就取这个圆盘的一个内接正方形

那么 这个内接正方形的边长的一半

根据勾股定理 我们知道

应该就是根下二分之一倍的δ1

所以现在我就取δ就等于

根下二分之一倍的δ1

然后 则当x到x0的距离

也就是这个差的绝对值

大于零小于δ 而且y到y0的距离

也就是这个绝对值 也是大于零小于δ时

那么这个点 一定是在这个内接正方形里面

从而这个点一定是在这个圆盘里面

这个时候 我就有 这个不等式还是成立的

现在 我们再用这个条件

这个条件 也就是说对不等于y0的y来说

它这个极限存在

那么现在在这个不等式两端

我们令x趋向于x0

如果x趋向于x0的时候

这一边就跑到phi y减A的绝对值

这边自然是常数，仍然是ε

根据极限的保号性质 我们就有这个结论

令x趋向x0 我就会得到 f 就是这个极限

我就用phi y来表示

phi y减A这个绝对值小于等于ε

这是对的

现在我们从头到尾看一下

我们是不是证明了这么一件事

对任给的ε大于零

我找到了一个具体的δ大于零

只要y到y0的距离小于δ大于零

就得到了这个不等式成立

而这个不等式成立

也就是这个极限等式成立

所以证到这儿 我们就证明了这个结论

那么 这个结论 结合着前面这三个例子

我们可以回过头来总结一下

二重极限 跟累次极限到底有什么关系

如果单纯从概念上讲

它是不同的极限问题 当然没有关系

但是有了这个定理之后 也就是说

当你二重极限存在的时候

你的二次极限只要存在

它的值一定就是二重极限的极限值

换句话说 我们也可以用

这样用这个结论

说对一个函数在一个点

如果它的两个二次极限

至少有一个不存在

或者是说 两个二次极限都存在

而且相等的时候

以及反过来看看

它的二重极限的存在性问题

最后咱们看这么一个函数

f x y等于x方减y方 除上x方加y方

那么 我们看这个函数在原点

它的二重极限问题 请大家找一找理由

我的结论是 它的二重极限不存在

请大家回答为什么

另外一个 我们再看一下

对这个函数 在原点

先关于x后关于y它的累次极限是什么

也就是先关于x后关于y

它的累次极限是什么

我的结论 这个累次极限 应该是负一

如果在原点

先关于y后关于x的累次极限是什么

这个结论 我给出来应该是一

那么对这个函数来说

如果我讨论二重极限存在性的时候

现在我能不能这样说

因为它在先x后y的极限次序下

它的结果是负一

而在先y后x的极限次序下结果是一

而这两个是不等的

所以这个函数在原点的二重极限

肯定是不存在的

因为根据刚才这个例题

如果二重极限存在的时候

当两个累次极限也都存在的时候

它的值都应该是二重极限的极限值