欧拉方程在线视频

前面我们重点介绍了

线性微分方程的有关的内容

接下来

我们看另外一类特殊的微分方程

这就是所谓的欧拉方程

欧拉方程

什么样的方程叫欧拉方程

那 我们给出一个定义

我们把下面这个形式的方程

称为欧拉方程

也就是说这个方程

它的第一项是x n次方

乘上y的n阶导数

第二项是常数a n-1

乘上x的n-1次方

乘上y的n-1阶导数

这样一直到它的第n项

应该是常数a1乘上x再乘y的导数

第n+1项是常数a0乘上y

右端项是fx

那么这样的微分方程

我们就称为欧拉方程

根据欧拉方程的定义

我们知道

实际上

欧拉方程它的特点

就是说它每一项

主要的就是x的k次方

与未知函数的k阶导数的乘积

因为它的系数

在这个地方ak都是常数

都是常数

那么对这样的方程

我们怎么样利用它的特点

来对它进行变形

那么通过变形

我们看看能不能变到我们熟悉的方程

实际上 对欧拉方程来说

我们的求解方法

是这样想的

我们先考虑x大于0时

如果x大于0

我们就令x等于e的t次方

t是新的自变量

这个时候

当然 t就等于个lnx

现在 我们原来的未知函数

应该是yx的

但是 x是等于e的t次方

所以它应该是y e的t次方

这个是由yx和e的t次方做复合得到的函数

我们把这个函数记成gt

那咱们看一下

如果我把自变量从x变成t

把未知函数从yx变成gt

那么我原来yx满足的这个方程

对这个新的未知函数来说

会变成什么形式

那我就从最简单的

譬如说二阶的方程出发

二阶的方程出发的时候

我要求它的一阶导数

也就是y关于x的一阶导

那么 因为yx是等于gt的

它关于x的一阶导

也就是g关于t的一阶导

再乘上t关于x的导数

t关于x的导数

也就等于x分之一

所以它就等于g一撇t

再乘上x分之一

这就是它的一阶导

那么 它的二阶导

y关于x的二阶导

应该等于这个函数关于x求导

第一个函数关于x求导是复合函数

所以说它应该是它关于t的导数

乘上t关于x的导数

所以说这个地方出来的应该是

x平方分之一

在第一个因子不动

第二个因子求导

应该是减掉g一撇t

然后是x方分之一

那么这样子

一阶导二阶导

与积的一阶导二阶导就联系起来了

但是我们看一下

由第一个等式

我们知道x乘上y一撇x

应该就等于g一撇t

第二个等式

我们会看到

x平方乘上y的两阶导

应该就等于

g关于t的两阶导

再减掉g关于t的导数

如果代到二阶欧拉方程里面

我们看一下

二阶欧拉方程会变成什么样子

也就是说x乘上y的两阶导

就是g两撇t

减掉g一撇t

再加上a1乘上x

乘上y的一阶导

也就是g一撇t

在这里 再加上

就是那个 a0乘上y

而yx就等于gt

所以说应该是个a0乘上gt

这面右端项是fx

但是x是等于e的t次方

所以右端项就是e

fe的t次方

这就是我们gt这个未知函数

满足的方程

那我们看一下这个方程

对未知函数gt来说

它应该是一个二阶线性

常系数非齐次方程

所以说

通过这样的变量替换了

我们发现二阶欧拉方程就变成

我们熟悉的二阶线性常系数非齐次方程

那么我们就问

这种变换能不能把一般的

n阶欧拉方程

也变成是

n阶线性常系数的微分方程

实际上

我们为了讨论一般的情况

我们已经量个记号

也就是说

我们记 就是

D表示关于t求一阶导

我们用Dk表示关于t求k阶导

引进这两个记号

这个时候我们会发现

这里这一个

x乘上y关于x的一阶导数

可以表示成这个样子

y关于

x乘上y关于x的一阶导数

实际上可以表示成Dg

而x平方乘上y关于x的二阶导数

可以表示成

就是D方

然后这面是g

减掉Dg

也就等于

D乘上一个D-1

再一个g

也就引进这两个记号后

我们发现刚才我们得到的结果

可以用D来表示成这个形式

现在我们看一下

如果我假设

假设xk次方乘上y的k阶导

可以表示成D乘上D-1

一共有k项乘起来

所以乘到最后

应该是D减掉k再加上1 g

如果我假设这个式子成立的时候

我来看一看

x k+1次方

乘上y的k+1阶导会等什么

我们为了就是得到

就是这个东西它的表达式

我们直接在上面这

等式两端关于x求导

也就是说

我直接在这个等式两端关于x求导

那么左边的导数

大家知道应该就是k倍的

x k-1次方乘上y的k阶导

再加上x k次方

这面再乘上y的k+1阶导

这就是左边

右边 大家注意到

这个g它是关于t的函数

而我们是关于x求导

所以说它应该是一个复合函数求导

它应该就等于

就是D乘上D-1

一直乘到D-k+1

这是个g 这个东西

应该是先关于t求导

在乘上dt dx

然后这样做的时候

里面这都是导数运算

所以导数运算

我们先求完这项导之后

再关于t求导

与先对它关于t求导

再求这些导数是一样的

所以它就应该等于D D-1

一直乘到D-k+1

这面再乘上

g关于t的导数 也就是Dg

这面乘上的是x分之一

x分之一

现在我们看一下

这个等式的左端是这一项

右端是这一项

我们把x给乘过来

乘过来之后

这面就会出现x的k+1次方

乘上y的k+1阶导

我们把这项移到等号的另外一端

所以我们就会推出

x的k+1次方

乘上y的k+1阶导

就等于

这面是D乘上D-1

一直乘到D-k+1

这面再乘上D 这是g

减掉k倍的x的k次方

乘上y的k阶导 但是

我们已经假设了xk次方

乘上y的k阶导

是等于这个表达式的

所以我们把这个表达式代进去

代进去之后

它与前面这一项正好有一些公因子

我们给它提出去

也就是等于

提出来

D乘上D-1

乘到D-k+1

都可以提出来

最后 这边剩下的是D

这边剩下的是k

也就是减掉k 这是g

也就是换句话说

现在我们就证明了

就是这个表达式

对任意的k都是成立的

这是用归纳法的想法证明的

如果这样子的时候

那么

我们引进了这两个记号之后

我们的n阶欧拉方程

它就关于这个新的未知函数gt

就变成了这个形式

也就变成了

就是D乘上D-1

一直乘到D-n+1

这是gt

再加上一个n-1

这面就是D乘上D-1

一直乘到D-n+2

这是这个地方 这是g

最后一直做下去

就是a1这面就是一个Dg

再加上一个a0

这是一个g

这面就等于f e的t次方

这个方程实际上就是一个

n阶的线性常系数微分方程

所以这是在x大于0的前提下

我们做了这个变量替换

引进了新的未知函数

就把欧拉方程变成了我们熟悉的

n阶线性常系数微分方程

当然

如果我们的gt表达式求出来了

那么我们自然就会得到我们的yx

也就得到原来欧拉方程的解

如果我们在求解的范围

是x小于0时

实际上

我们的处理想法是完全一样的

无非是在x小于0时

你就直接令x等于负的e的t次方

做这样的变量替换

这样的变量替换只是在求导过程中

正负号上需要大家注意

实际上

它的转化还是一样的

它一样可以把原来的欧拉方程变成是

n阶线性常系数微分方程

所以说对欧拉方程这种特殊的方程

我们的求解思路

就是通过变量替换

变成线性常系数方程进行求解