8.1.1 量子态的表象 态矢量在线视频

同学们

大家好

现在我们开始

量子力学的新的一个学期的

幕课教学

是量子力学(下)

我们从接续的

上一学期的第七章开始讲

第八章

量子力学的矩阵形式

首先来介绍

态和力学量的

表象和表象变换

第一个问题先介绍

什么是态矢量

这里有一个很重要的概念

就是

在量子力学里

描写量子态

和力学量的方式

并不是唯一的

某一种具体的方式

就称为一种表象

我们前边已经介绍过

两种表象

分别是坐标表象

和动量表象

以一维情形为例

如果我们用一个波函数 ψ

它是 x 和 t 的函数

来描写量子态

那么这就是坐标表象

而如果用一个波函数 Φ

它是动量 p 和时间 t 的函数

来描写量子态

它就是动量表象

这两个表象之间

是可以通过傅里叶变换

而彼此变换的

这两种表象都属于连续表象

因为

在这些表象里边

变量 x 和变量 p

是可以连续地变动的

下面我们要介绍的

是一种表象

叫做离散表象

对于这样的表象

我们首先

要取一个力学量记作 Q̂

当然

代表力学量的都是厄密算符

假设这个力学量的本征值

是离散的集合

我们把它记作 q₁，q₂

等等 等等

那么对于每一个本征值都有

对应的本征函数

它们构成一个

本征函数的集合

我们把它记为 u₁，u₂ 等等

由于我们

解这样的问题的时候

都是假设所有的量子态

都用以 x 为变量的函数

来描写

所以

这些本征函数都是 x 的函数

这里我们的记法是

q₁ 所对应的本征函数是 u₁

q₂ 对应的本征函数是 u₂

等等

并且为了简单起见

假设所有的本征值

都是非简并的

这个意思就是

每一个本征值

都有唯一的本征函数

和它对应

好

我们有了这样的

本征函数系

就可以做很多事情

因为

我们前边已经介绍过

本征函数系是正交归一的

表示成为这样的一个式子

左边叫做

这两个波函数的内积

实际上是一个积分

假若我们所取的

这两个波函数

是同样的函数

那么

这个内积实际上表达的是

它的归一化

也就是说

这个内积应该等于 1

而如果是

两个不同的本征函数

那么

它们是彼此正交的

因而

这个内积是 0

这样的两个结果合起来

就表示成为这样一个δ符号

这个符号

当它的两个右下标

相等的时候是 1

而两个右下标

不等的时候是 0

此外

我们还可以假设

这个本征函数系是完备的

那么所谓的

完备性可以表达成为

这样的一个等式

我们前面介绍过

这个等式称为

这个函数系的强完备条件

它是这样的一个

求和的式子

其中

把任何一个本征函数

和它的复共轭乘起来

但是

彼此要选择

不同的变量符号

这里把它写为 x 和 xˊ

然后

对所有的本征函数的

这样的乘积求和

最后

当然是 x 和 xˊ的函数

那么

所谓的本征函数系的完备性

就体现为

这样的一个求和式

是 x-xˊ的δ函数

有了这样的正交归一性

和完备性

我们就可以把一个

任意的波函数做展开

假设这里的 ψ(x,t) 是一个

任意的波函数

那么我们就可以把它

写成所有的本征函数的

一个线性组合

由于一般而言

ψ 既和 x 有关又和 t 有关

而本征函数

通常只取为 x 的函数

因此

这样的一个线性组合的系数

就是 a_n

应该和时间 t 是有关的

利用前面我们所给的

这样的正交归一关系

就可以求出

这里边的展开系数

就是 a_n(t)

它其实就是

这个给定的任意波函数

和你所选择的

那一个本征函数的内积

这样的一种做法

我们就称为

引入了量子力学的一个

新的表象

由于它依赖于

你所取的那个物理量 Q̂

所以

我们就把它简单地称为

这个表象是 Q̂ 表象

在这个表象里

我们得到了

这样的一些函数

这个函数只是 t 的函数

然而

它却和这个指标 n 有关

一般而言

这个 n 有可能

取遍全部的非负整数

因此呢

这些函数实际上

是有无穷多个的

这些函数我们也可以称之为

它叫做 Q̂ 表象里的

所谓的波函数

由于现在我们面临的是

许许多多的函数

所以说

我们想一个

更方便的办法

把它表达出来

这就是借助于

数学里的矩阵形式

也就是说

我们构造一个这样的列矩阵

这个矩阵里的各个元素

就是这些 Q̂ 表象里的波函数

由于它表达的

就是我们所选定的那个

量子态 ψ

所以说

我们把这样的一个列矩阵

采用同样的符号 ψ 来记

只不过注意

现在这个 ψ

就变量而言

只和 t 有关

而实质上它代表的

是一个列矩阵

这个波函数

有一个另外的名称

叫做态矢量

在我们原来的

波函数的运算里边

经常要用到

波函数的复共轭

而现在我们是用一个列矢量

来表达一个量子态

因而

这样的对应的运算

变成了一个厄密共轭

这就是

把原来的列矢量里的

每一个元素

都取它的复共轭

并且把列矢量

变成行矢量

这样所得到的一个行矢量

叫做原来的态矢量的

厄密共轭

在原来的波函数的运算里边

我们有的时候

要把波函数和它的厄密共轭

乘起来再做积分

那么

在目前的矩阵形式之下

我们就变成一个另外的运算

那就是

把厄密共轭的态矢量

是一个行矢量

和原来的态矢量

是一个列矢量

乘起来

注意

这里所写的这个乘法

应该理解为

矩阵的乘法

规则叫做

行乘以列

因此

实际上的

这样的一个乘法

是一个这样的求和

那就是

a₁ 的复共轭乘以 a₁

加上 a₂ 的复共轭乘以 a₂

如此等等

也就是把每一个矩阵元的

模平方加起来

你很容易证明

这样做的结果

实际上就是原来

我们把一个波函数

和它的复共轭

乘起来

再做积分

那么

简写的就是

这样的一个内积

这里就要注意

我们此后经常把所谓的乘

理解为矩阵的乘

它的规则

就叫做行乘以列

而刚才的最后一个式子

又回到了

我们原来定义的内积的运算

这里介绍一下

这种矩阵形式里边

常用的一些名词

或者叫做术语

一个是

这样的本征函数集

我们又把它称之为

Q̂ 表象里的

基矢量或者叫做基底

而这些系数

或者叫矩阵的分量

又称为态矢量的分量

或者投影

之所以采用这样的术语

在本质上呢

是由于量子态

是满足叠加原理

这一点

我们以前曾经向大家强调过

从数学的角度来看

这就意味着

所有的量子态

构成一个所谓的线性空间

另外一个名称

也就是

矢量空间

由于我们以后

经常会称呼这样的空间

所以我们用数学的定义

称为这个给定的算符的

也有的时候

是一个给定的系统的

希尔伯特空间

刚才我们介绍的

是所谓的分立谱的情形

事实上

这种矩阵的概念

也可以形式地推广到

连续谱的情形

但是

在连续谱的情况下

上面的各个式子

就要做一些改变

现在我们假设

这个算符 Q̂ 的本征值

是一个连续变化的一个变量

把它记作 q

比如说

它取值在整个的实数轴上

对应的本征函数系

现在记为

u 右下角加一个 q

表明它属于

q 这个本征值

然而别忘了

作为函数

它的变量是 x

第一步

我们先考虑

这样的本征函数系的

正交归一性

形式上说

它仍然是一个内积

这两个本征函数分属于

本征值 q 和 qˊ

那么大家知道

这个内积

实际上是一个积分

那就是

左边的这个函数

取复共轭

右边的那个函数

就是它自己

乘起来之后在 x 轴上

做积分

那么这种连续变化的

本征函数系的正交归一性

是一个δ函数

如果我们比较一下

分立情形的

这种正交归一性呢

这样的一个内积

是以右下角的

两个指标

为下标的δ符号

而现在

只不过是把δ符号

变成了δ函数

因此

完全类似地

也可以猜想得到

所谓的这个函数系的

完备性

是这样的一个积分

本征函数用的是

属于同一个本征值的

然而

变量却分别地取做 x 和 xˊ

注意

现在的积分不再是对 x 积

而且对 q 来积

因为 q 本身

就是一个连续变量

结果也是一个δ函数

然而却是这里的变量

x 和 xˊ的δ函数

同时，所谓的任意波函数

对这个本征函数系的展开式

也从原来的一个求和式

变成了一个积分式

那就是

这是一个任意给定的波函数

这是我们的本征函数系

所谓的积分

是对本征值 q 来做积分

因而

被积分的这个本征函数

前面应该有一个所谓的

展开系数

而这个展开系数

应该是 q 的函数

这里的时间

仍然是一个保留变量而已

因为这边有时间变量

因此

这个展开系数当中

也应该包含时间变量

利用上一页我们给出的

正交归一性

就可以把

这样的一个展开系数

计算出来

他也表示成为一个积分

这个积分是

任意给定的波函数

乘以一个选定的

本征函数的复共轭

对 x 做积分

那么积分出来

x 这个变量

不再出现

然而

你所选定的

这个本征函数的本征值 q

却会进入你这个积分的结果

因而它是 q 的函数

现在对于连续表象的情形

我们就举一个

大家最熟悉的例子

就是坐标表象

这个时候

我们应该以坐标算符 x

作为选定的那个

构造表象的算符

因而应当找到它的本征函数

我们把它这样来记

那就是

它仍然是变量 x 的函数

然而

每一个本征函数

应该有一个对应的本征值

我们把本征值

记在这个函数记号的右下角

那么大家当然知道

这个本征值的取值区间

是全部的实轴

所谓的这一个 u

是一个本征函数

那意思就是说

他满足这样的本征方程

左边是 x 算符

作用于这个本征函数

它应该等于本征值

现在记作 x₀

乘以同样的这个本征函数

但是

所谓的 x 算符

其实就是 x 变量自己

所以说

只有这样的所谓的

δ函数

才能够满足这样的本征方程

这个δ函数的变量

是 x-x₀

我们把这样的本征函数系

仍然记为

这样的一个符号的话

那么很显然

它满足的所谓的

正交归一关系

是这样的

我要拿两个

属于不同本征值的

本征函数并且

其中的一个取复共轭

做积分

我把这样的两个

本征值分别记作

x₁ 和 x₂

被积变量仍然记作 x

那么你把它们的具体的形式

就是δ函数代进去的话

它应该变成一个

这样的积分

而δ函数有这样的一个性质

那就是

某一个δ函数

乘上一个任意的函数

意味着

把这个函数里边的那个 x

换成这个值

因而

这样的一个

两个δ函数的积分的结果

其实还是一个δ函数

只不过

现在变成的变量是 x₁-x₂

完全类似地

对于完备性

也可以做类似的分析

注意

现在的完备性

应该写成一个这样的积分

那就是

这两个本征函数

取在同一个本征值上

然而

变量分别取作 x 和 xˊ

并且积分是对

本征值进行的

这里就是对 x₀ 进行的

你仍然把这两个本征函数的

具体形式

就是δ函数写出来

那么，这样的一个积分

完成了之后

和刚才的那个积分

非常类似地

是 x - xˊ的δ函数

因此

如果你给我一个

任意的波函数

我们仍然可以

对这个本征函数系

做展开

那就是

这样的一个积分

这里边我仍然记作 ψ

然而别忘了

现在它的意义变成了

对于本征函数系

做展开的那个系数

因而，实际上

这里的 x

应该重新记作 x₀

并且这个 x₀ 是要做积分的

那么实际上

大家就发觉

这个等式

就是从这里边的左边

一直走到

这个的右边的话

它正好就是

δ函数进入积分的时候

所得到的结果

那就是把δ函数

和一个任意的函数相乘

再做积分

它的结果

就是把这个函数

当 x=x₀ 的时候的

那一点的值

提取出来

因而恰好

就是我们原来的那个 ψ(x,t)

我们发觉

如果我们把

刚才所分析的这一套

和原来所说的矩阵形式

做对比的话

你也可以把这样的所谓的

波函数称之为矩阵元

只不过在这个时候

我们应该把这个 x

看作所谓的矩阵元的指标

如果和刚才的那个

记矩阵元的

那个方法对比的话

可以把这个 x 挪到右下角来

因为它起了一个指标的作用

只不过现在这个矩阵指标

是一个连续变量而已

这就表明

实际上我们所熟悉的那种

连续表象

重新用

矩阵的形式写出

也并没有什么原则的困难

但是

对于连续表象的这种情形

毕竟这种所谓的矩阵的语言

不如函数的语言更直接

所以

此后我们在利用量子力学的

矩阵形式的时候

主要地还是用于

离散的表象

我们在上面

所介绍的方法和概念

也不难推广到

多自由度的情形

也就是高维空间的情形

对于多自由度系统

我们就不能只取一个算符

来构造表象

而应该取它的完备力学量集

并且求这个完备力学量集的

同时本征函数

用这样的函数系

作为希尔伯特空间的基底

来构造一个表象

所以前边我们介绍的

完备力学量集的概念

从现在一个新的角度来看

实际上就是选择一个

确定的表象

这二者在本质上具有

相同的含义

刚才我们介绍一维情形

同时介绍了分立的情形

和连续的情形

对于多自由度体系

或者是高维空间的体系

也有这样的区别

但是

它们的情形

也不难从一维的情形

过渡过来

这些我们就不再做

更仔细的解释了